Уравнения равные нулю

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

    \[ax(bx + c)(mx + n) = 0\]

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

    \[ax = 0;bx + c = 0;mx + n = 0\]

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Примеры.

    \[1)7x(2x - 3)(5x + 4) = 0\]

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[7x = 0;2x - 3 = 0;5x + 4 = 0\]

    \[7x = 0;\]

    \[\underline {x = 0} \]

    \[2x - 3 = 0\]

    \[2x = 3\]

    \[\underline {x = 1,5} \]

    \[5x + 4 = 0\]

    \[5x = - 4\]

    \[\underline {x = - 0,8} \]

Ответ: 0; 1,5; -0,8.

    \[2)(12 - 4x)(7x + 2) = 0\]

    \[12 - 4x = 0;7x + 2 = 0\]

    \[12 - 4x = 0\]

    \[ - 4x = - 12\]

    \[\underline {x = 3} \]

    \[7x = - 2\]

    \[\underline {x = - \frac{2}{7}} \]

Ответ: 3; -2/7.

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0″.

Например,

    \[3){x^3} - 12 - 3{x^2} + 4x = 0\]

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

    \[({x^3} - 3{x^2}) + (4x - 12) = 0\]

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

    \[{x^2}(x - 3) + 4(x - 3) = 0\]

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

    \[(x - 3)({x^2} + 4) = 0\]

Получили уравнение типа «произведение равно 0″. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[x - 3 = 0;{x^2} + 4 = 0\]

Корень первого уравнения —

    \[\underline {x = 0} \]

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

Ответ: 3.

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных  нулю, рассмотрим позже.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>