Квадратное уравнение

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

    \[a{x^2} + bx + c = 0,\]

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

    \[D = {b^2} - 4ac\]

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}.\]

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

    \[x = \frac{{ - b}}{{2a}}.\]

3) Если D<0, квадратное уравнение не имеет корней в действительных числах.

Решение неполных квадратных уравнений

1) Если c=0

    \[ a{x^2} + bx = 0\]

Общий множитель x выносим за скобки

    \[x(ax + b) = 0\]

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[x = 0 \]

или

    \[ax + b = 0\]

откуда

    \[x = - \frac{b}{a}.\]

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

    \[a{x^2} + c = 0\]

Если знаки a и с разные (например, a>0, c<0), левую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов

    \[a{x^2} + c = 0 \_\_\_ \left| {:a} \right.\]

    \[{x^2} - \frac{c}{a} = 0\]

    \[(x - \sqrt {\frac{c}{a}} )(x + \sqrt {\frac{c}{a}} ) = 0\]

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[x - \sqrt {\frac{c}{a}} = 0\]

или

    \[x + \sqrt {\frac{c}{a}} = 0.\]

Отсюда

    \[{x_1} = \sqrt {\frac{c}{a}} ;{x_2} = - \sqrt {\frac{c}{a}} .\]

Если -a<0, c>0, обе части уравнения делим на -a

    \[ - a{x^2} + c = 0 \_\_\_ \left| {:( - a)} \right.\]

и получаем то же уравнение

    \[{x^2} - \frac{c}{a} = 0\]

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a<0, c<0, то ax²≤0 (в примерах этого вида ax²<0). Сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

В дальнейшем обычно решают короче:

    \[ a{x^2} - c = 0\]

    \[ a{x^2} = c\]

    \[{x^2} = \frac{c}{a}\]

    \[x = \pm \sqrt {\frac{c}{a}} \]

или

    \[ a{x^2} + c = 0\]

    \[{x^2} = - \frac{c}{a}\]

корней нет.

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

    \[ a{x^2} = 0\]

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

    \[D = 0, \Rightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}};\]

    \[ a{x^2} = 0, \Rightarrow {x_1} = {x_2} = 0.\]

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>