Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического:

    \[\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_n}}},\]

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

    \[{a_1} = {a_2} = ... = {a_n}.\]

Частный случай этого неравенства, связывающий среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, известен с древних времён. Чаще всего его доказывают, используя геометрическую интерпретацию.

Дано: a>0, b>0

Доказать:

    \[\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \]

Доказательство:

neravenstvo-o-srednem-arifmeticheskom-i-srednem-geometricheskomПусть AD=a, BD=b.

Построим окружность с диаметром AB=a+b.

Из произвольной точки C окружности проведём к диаметру перпендикуляр CD.

Угол ACD — прямой (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).

По свойству прямоугольного треугольника, высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому между проекциями катетов на гипотенузу:

    \[CD = \sqrt {AD \cdot BD} \]

то есть

    \[CD = \sqrt {a \cdot b} \]

Соединим точку C с центром окружности, точкой O. CO — радиус, значит, он равен половине диаметра:

    \[CO = \frac{1}{2}AB\]

    \[CO = \frac{{a + b}}{2},\]

то есть длина CO равна среднему арифметическому a и b.

В прямоугольном треугольнике COD CD — катет, CO — гипотенуза.

Так как гипотенуза всегда больше катета, CO>CD, следовательно, среднее арифметическое a и b больше их среднего геометрического.

neravenstvo-koshi D совпадает с точкой O,

если AO=BO, то есть a=b.

В этом случае

CO=CD=AO=BO=a=b,

    \[\frac{{a + b}}{2} = \frac{{a + a}}{2} = a,\sqrt {a \cdot b} = \sqrt {a \cdot a} = a\]

(так как a>0), и и ф этом случае среднее арифметическое a и b равно их среднему геометрическому.

Таким образом, среднее арифметическое положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического.

Что и требовалось доказать.

В общем случае неравенство было доказано Коши.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>