ОДЗ уравнения — конечное число значений

Если ОДЗ уравнения состоит из конечного числа значений, достаточно подставить каждое значение в уравнение, чтобы проверить, является ли это значение корнем.

Примеры применения конечной ОДЗ к решению уравнений.

$1)5x - \sqrt[6]{{3 + 5x - 2{x^2}}} + \sqrt {x - 3} = 15$

Под знаком корня чётной степени должно стоять неотрицательное число, поэтому

$\left\{ \begin{array}{l} 3 + 5x - 2{x^2} \ge 0\\ x - 3 \ge 0 \end{array} \right.$

Первое неравенство — квадратичное, решаем его методом интервалов. Второе — линейное.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств:

odz-uravneniya-konechnoe-chislo-znachenij

ОДЗ состоит из единственного значения: {3}.

Остаётся выполнить проверку, является ли 3 корнем уравнения:

$5 \cdot 3 - \sqrt[6]{{3 + 5 \cdot 3 - 2 \cdot {3^2}}} + \sqrt {3 - 3} = 15$

$15 = 15$

Получили верное равенство, следовательно, x=3 — корень данного уравнения.

Ответ: 3.

$2)\sqrt {{x^2} - 5x + 6} + \sqrt {9 - {x^2}} + 1 = \sqrt {x - 2}$

Под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное число. Отсюда ОДЗ

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 6 \ge 0\\ 9 - {x^2} \ge 0\\ x - 2 \ge 0 \end{array} \right.$

Первые два неравенства — квадратичные. Решаем их методом интервалов. Третье — линейное. Отмечаем решение каждого неравенства на числовой прямой и находим пересечение решений:

odz-uravneniya-neskolko-chisel

ОДЗ состоит из двух значений: {2; 3}.

Выполним проверку.

При x=2

$\sqrt {{2^2} - 5 \cdot 2 + 6} + \sqrt {9 - {2^2}} + 1 = \sqrt {2 - 2}$

$\sqrt 5 + 1 \ne 0$

При x=3

$\sqrt {{3^2} - 5 \cdot 3 + 6} + \sqrt {9 - {3^2}} + 1 = \sqrt {3 - 2}$

$1 = 1$

Таким образом, данное уравнение имеет единственный корень x=3.

Ответ:3.

$3)4\arcsin (2x - 1) + {(x - 1)^{\frac{7}{9}}} = 2\pi$

Область допустимых значений арксинуса — закрытый промежуток от -1 до 1. В основании степени с нецелым положительным показателем должно стоять неотрицательное число. ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le 2x - 1 \le 1\\ x - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 1\\ x \ge 1 \end{array} \right.$

Таким образом, область допустимых значений уравнения состоит из одного значения:{1}. Остаётся проверить, является ли x=1 корнем данного уравнения.

$4\arcsin (2 \cdot 1 - 1) + {(1 - 1)^{\frac{7}{9}}} = 2\pi$

$4 \cdot \frac{\pi }{2} = 2\pi$

$2\pi = 2\pi$

Ответ: 1.
Если ОДЗ уравнения состоит из одного или нескольких чисел, этот способ может помочь легко и быстро справиться с заданием.

Как и другие способы решения уравнений, основанные на свойствах функций, применение конечного числа значений часто ОДЗ позволяет решить достаточно сложные нестандартные задания. И хотя в школьном курсе алгебры он проявляется не часто, полезно его помнить и уметь применять.

Добавить комментарий Отменить ответ