Полный квадрат суммы

Полный квадрат суммы  в алгебре может встретиться в ходе решения примеров из самых разных тем. Вот почему важно выработать умение увидеть полный квадрат и свернуть его по формуле.

Как другие формулы сокращенного умножения, квадрат суммы является тождеством, то есть формула может быть использована как для перехода от левой части к правой, так и от правой к левой.

Выражение, стоящее в правой части этого тождества, называется полным квадратом суммы (о неполном квадрате мы будем говорить позже).

Полный квадрат суммы равен сумме трех слагаемых, два из которых — квадраты некоторых выражений, а третье — их удвоенное произведение. Он сворачивается в квадрат суммы этих выражений.

    \[{a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2}\]

Например,

    \[1){6^2} + 2 \cdot 6 \cdot z + {z^2} = {(6 + z)^2}.\]

На практике, как правило, прежде чем воспользоваться формулой полного квадрата суммы, выражение требуется преобразовать.

В ходе первых шагов работы с формулой полного квадрата может быть полезной следующая схема:polnyiy kvadrat summyiНапример, для того, чтобы свернуть по формуле выражение

    \[2)49{x^2} + 70xy + 25{y^2},\]

сначала его следует представить как сумму квадратов двух выражений и удвоенного произведения этих выражений:

    \[49{x^2} + 70xy + 25{y^2} = \]

    \[ = {(7x)^2} + 2 \cdot 7x \cdot 5y + {(5y)^2} = {(7x + 5y)^2}.\]

С помощью схемы это записывается так:

formula polnogo kvadrata

Следует учесть, что слагаемые в формуле полного квадрата суммы могут стоять в произвольном порядке.

Например,

    \[3)24ab + 16{a^2} + 9{b^2} = \]

    \[ = {(4a)^2} + 2 \cdot 4a \cdot 3b + {(3b)^2} = {(4a + 3b)^2}.\]

Как определить полный квадрат суммы?

1) Полный квадрат суммы состоит ровно из трех положительных слагаемых.

2) Два слагаемых являются квадратами некоторых выражений.

3) Третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений.

Например,

    \[4)\frac{4}{9}{m^{10}} + 81{n^2} + 12{m^5}n\]

Здесь квадраты — первое и второе слагаемые:

    \[\frac{4}{9}{m^{10}} = {(\frac{2}{3}{m^5})^2},81{n^2} = {(9n)^2}.\]

Проверяем, является ли третье слагаемое удвоенным произведением первого и второго выражений:

    \[2 \cdot \frac{2}{3}{m^5} \cdot 9n = \frac{{2 \cdot 2 \cdot \mathop {\overline 9 }\limits^3 }}{{\mathop {\underline 3 }\limits_1 }}{m^5}n = 12{m^5}n.\]

Да,является. Значит, это выражение — полный квадрат суммы, и его можно свернуть по формуле:

    \[\frac{4}{9}{m^{10}} + 81{n^2} + 12{m^5}n = \]

    \[ = {(\frac{2}{3}{m^5})^2} + 2 \cdot \frac{2}{3}{m^5} \cdot 9n + {(9n)^2} = \]

    \[ = {(\frac{2}{3}{m^5} + 9n)^2}.\]

    \[5) - 100{t^8} - 1 - 20{t^4}\]

Здесь все три слагаемые со знаком «минус», чего в формуле полного квадрата суммы быть не может. А что, если попробовать вынести знак «-» за скобки?

    \[ - 100{t^8} - 1 - 20{t^4} = - (100{t^8} + 1 + 20{t^4}) = \]

(не забываем все знаки в скобках изменить на противоположные).

В скобках получили сумму квадратов двух выражений и их удвоенного произведения, то есть полный квадрат суммы двух выражений:

    \[ = - ({(10{t^4})^2} + 2 \cdot 10{t^4} \cdot 1 + {1^2}) = \]

    \[ = - {(10{t^4} + 1)^2}.\]

Переход от полного квадрата суммы к квадрату суммы — один из способов разложения многочлена на множители. Вынесение общего множителя за скобки — другой. В 5-м примере были применены оба способа одновременно.

Еще один пример на комбинацию двух способов:

    \[6)2{x^2} + 32{x^4} + 16{x^3} = \]

Общий множитель 2x² выносим за скобки.

    \[ = 2{x^2}(1 + 16{x^2} + 8x) = \]

Выражение в скобках — полный квадрат суммы, так как состоит из суммы квадратов двух выражений и их удвоенного произведения

    \[ = 2{x^2}({1^2} + 2 \cdot 1 \cdot 4x + {(4x)^2}) = \]

    \[ = 2{x^2}{(1 + 4x)^2}.\]

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>