Решение уравнений методом оценки

Решение уравнений методом оценки основано на сравнении области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения.

Если в уравнении

    \[f(x) = g(x)\]

выполняются условия

    \[\begin{array}{l} f(x) \ge a\\ g(x) \le a, \end{array}\]

то равенство возможно тогда и только тогда, когда и f(x) и g(x) одновременно равны a:

    \[\left| \begin{array}{l} f(x) = g(x)\\ f(x) \ge a\\ g(x) \le a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = a\\ g(x) = a \end{array} \right.\]

При этом, если максимальное значение функции, стоящей в одной части уравнения, равно минимальному значению функции, стоящему в другой части уравнения, и эти значения достигаются для обеих функций при x=x0, то xo — корень уравнения.

Графически это можно проиллюстрировать так:

reshenie-uravnenij-metodom-ocenki

 

или

metod-ocenki

Если максимальное значение функции, стоящей в одной части уравнения, равно минимальному значению функции, стоящему в другой части уравнения, но эти значения достигаются при разных x0, то уравнение не имеет корней:

metod-ocenki-levoj-i-pravoj-chasti

 

Получив систему уравнений 

    \[\left\{ \begin{array}{l} f(x) = a\\ g(x) = a \end{array} \right.\]

достаточно решить одно из уравнений (которое проще), а затем проверить, являются ли найденные корни корнями другого уравнения.

Чаще всего при решении уравнений методом оценки правой и левой части используют следующие соображения:

    \[1) - 1 \le \sin x \le 1\]

    \[2) - 1 \le \cos x \le 1\]

3) Сумма двух положительных взаимно-обратных чисел не меньше 2:

    \[x + \frac{1}{x} \ge 2,\]

причём равенство достигается при

    \[x = \frac{1}{x} = 1.\]

4) Квадратичная функция в вершине параболы (x0; y0)

    \[{x_o} = - \frac{b}{{2a}},{y_o} = a{x_o}^2 + b{x_o} + c\]

при a>0 принимает своё наименьшее значение:

    \[a{x^2} + bx + c \ge {y_o},\]

при отрицательном коэффициенте a при x² — наибольшее значение:

    \[ - a{x^2} + bx + c \le {y_o}.\]

    \[5) - \frac{\pi }{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi }{2}\]

    \[6)0 \le \arccos x \le \pi \]

    \[7)\left| x \right| \ge 0\]

    \[8){x^{2n}} \ge 0,\]

где n — натуральное число.

 

Примеры решения уравнений методом оценки левой и правой части.

    \[1)\cos (2x - 4) = {x^2} - 4x + 5\]

ОДЗ: x∈R.

    \[f(x) = {x^2} - 4x + 5\]

— квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение принимает в вершине

    \[{x_o} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot 1}} = 2\]

    \[f({x_o}) = {2^2} - 4 \cdot 2 + 5 = 1.\]

Таким образом,

    \[f(x) = {x^2} - 4x + 5 \ge 1.\]

С другой стороны

    \[g(x) = \cos (2x - 4) \le 1.\]

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений 

    \[\left\{ \begin{array}{l} \cos (2x - 4) = 1\\ {x^2} - 4x + 5 = 1 \end{array} \right.\]

Корень второго уравнения:

    \[{x^2} - 4x + 5 = 1\]

x=2. Проверяем, является ли 2 корнем первого уравнения:

    \[\cos (2 \cdot 2 - 4) = \cos 0 = 1\]

- верно. Следовательно, x=2 — единственный корень.

Ответ: 2.

    \[2)\sqrt {25 + {x^4}} = 3{\cos ^2}x + 2\]

ОДЗ: x∈R.

Так как x⁴≥0, то 25+ x⁴≥25, а значит,

    \[\sqrt {25 + {x^4}} \ge 5.\]

С другой стороны,

    \[{\cos ^2}x \le 1, \Rightarrow 3{\cos ^2}x \le 3,\]

    \[ \Rightarrow 3{\cos ^2}x + 2 \le 5.\]

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений

    \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {25 + {x^4}} = 5\\ 3{\cos ^2}x + 2 = 5 \end{array} \right.\]

Решаем первое уравнение

    \[\sqrt {25 + {x^4}} = 5\]

    \[x = 0\]

Проверяем, является ли x=0 корнем второго уравнения:

    \[3 \cdot {(\cos 0)^2} + 2 = 5\]

    \[5 = 5\]

- верно. Значит, x=0 — корень данного уравнения.

Ответ: 0.

    \[3)\frac{1}{{{{(2x + 1)}^2}}} + {(2x + 1)^2} = 2{\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2}\]

ОДЗ:

    \[x \in ( - \infty ; - \frac{1}{2}) \cup ( - \frac{1}{2};\infty ).\]

Так как сумма взаимно-обратных положительных чисел не меньше двух,

    \[\frac{1}{{{{(2x + 1)}^2}}} + {(2x + 1)^2} \ge 2.\]

    \[{\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2} \le 1, \Rightarrow 2{\sin ^2}\frac{{\pi x}}{2} \le 2.\]

Следовательно,

    \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{{{(2x + 1)}^2}}} + {{(2x + 1)}^2} = 2}\\ {2{{\sin }^2}\frac{{\pi x}}{2} = 2} \end{array}} \right.\]

Так как сумма положительных взаимно-обратных чисел равна 2, если эти числа равны между собой, то

    \[\frac{1}{{{{(2x + 1)}^2}}} = {(2x + 1)^2}\]

    \[2x + 1 = \pm 1\]

    \[{x_1} = 0;{x_2} = - 1\]

Проверяем, являются ли эти корни корнями второго уравнения.

При x=0

    \[2{\sin ^2}\frac{{\pi \cdot 0}}{2} = 2\]

    \[0 \ne 2.\]

При x= -1

    \[2{\sin ^2}\frac{{\pi \cdot ( - 1)}}{2} = 2\]

    \[2 = 2.\]

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень x= -1.

Ответ: -1.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>