Сумма взаимно-обратных чисел

Сумма положительных взаимно-обратных чисел обладает полезным свойством.

Свойство суммы взаимно-обратных чисел

Сумма взаимно-обратных чисел не меньше 2.

Доказательство:

Пусть a (a>0) — данное число. Тогда число, обратное данному —

    \[\frac{1}{a}.\]

Согласно неравенству о средних, среднее арифметическое чисел не меньше их среднего геометрического:

    \[\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \]

Запишем это неравенство для  a и 1/a:

    \[\frac{{a + \frac{1}{a}}}{2} \ge \sqrt {a \cdot \frac{1}{a}} ,\]

откуда

    \[\frac{{a + \frac{1}{a}}}{2} \ge 1,\]

и

    \[a + \frac{1}{a} \ge 2,\]

то есть сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух.

Что и требовалось доказать.

Равенство достигается при

    \[a = \frac{1}{a}\]

Неравенство для суммы двух взаимно-обратных чисел используется при решении заданий из самых разных разделов алгебры.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>