Решение уравнений с помощью монотонности функций

Решение уравнений с помощью монотонности функций позволяет быстро и просто  найти корень уравнения (либо доказать, что уравнение корней не имеет).

Использование возрастания и убывания функций при решении уравнений опирается на следующие теоремы.

1) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то  уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает (либо наоборот), то уравнение f(x)=g(x) на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней.

Доказав, что уравнение имеет на промежутке не более чем один корень, можно попытаться определить его подбором.

Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, каждый из них следует рассмотреть отдельно.

Сумма возрастающих функций — возрастающая функция. Сумма убывающих функций — убывающая функция.

Прибавление или вычитание постоянной величины не влияет на монотонность функции. Если к возрастающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим возрастающую функцию. Если к убывающей функции прибавить (или вычесть) постоянную величину, получим убывающую функцию.

Таким образом, использование монотонности функций при решении уравнений схематически можно изобразить так:

Если

    \[\left. {\begin{array}{*{20}{l}} { \nearrow = - }\\ { \searrow = - }\\ { \nearrow = \searrow }\\ { \nearrow + \nearrow = - }\\ { \nearrow + \nearrow = \searrow }\\ { \nearrow \pm - = \searrow }\\ { \searrow + \searrow = \nearrow }\\ { \searrow + \searrow = - }\\ { \searrow \pm - = \nearrow } \end{array}} \right\} \Rightarrow \]

то уравнение имеет единственный корень или не имеет корней.

Разумеется, количество слагаемых может быть больше двух.

Некоторые функции, возрастающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения (k>0, b≥0, n — целое):

    \[y = kx \pm b,y = - \frac{k}{x},y = - \frac{k}{{{x^{2n + 1}}}},\]

    \[y = {x^3},y = {x^{2n + 1}},\]

    \[y = {a^x}(a > 1),y = {\log _a}x(a > 1),\]

    \[y = - {a^x}(0 < a < 1),y = - {\log _a}x(0 < a < 1),\]

    \[y = \sqrt {kx \pm b} ,y = - \sqrt {b - kx} ,\]

    \[y = tgx,y = arctgx,y = \arcsin x,\]

    \[y = - ctgx,y = - arcctgx,y = - \arccos x\]

Некоторые функции, убывающие на всей области определения либо на каждом из промежутков, из объединения которых состоит область определения:

    \[y = - kx \pm b,y = \frac{k}{x},y = \frac{k}{{{x^{2n + 1}}}},\]

    \[y = - {x^3},y = - {x^{2n + 1}},\]

    \[y = {a^x}(0 < a < 1),y = {\log _a}x(0 < a < 1),\]

    \[y = - {a^x}(a > 1),y = - {\log _a}x(a > 1),\]

    \[y = \sqrt {b - kx} ,y = - \sqrt {kx \pm b} ,\]

    \[y = ctgx,y = arcctgx,y = \arccos x,\]

    \[y = - tgx,y = - arctgx,y = - \arcsin x\]

Примеры решения уравнений с помощью использования монотонности функций.

    \[1)5{x^{19}} + 4{x^3} + 3x - 12 = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Перепишем уравнение в виде

    \[5{x^{19}} + 4{x^3} + 3x = 12\]

Функция

    \[f(x) = 5{x^{19}} + 4{x^3} + 3x\]

является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

Ответ: 1.

    \[2)2{x^{15}} + 3x = \frac{5}{x}\]

ОДЗ: x∈(-∞;0)U(0:∞).

На промежутке (-∞;0) функция

    \[f(x) = 2{x^{15}} + 3x\]

возрастает, функция

    \[g(x) = \frac{5}{x}\]

- убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x= -1.

Аналогично, на промежутке (0:∞)

    \[f(x) = 2{x^{15}} + 3x\]

возрастает, 

    \[g(x) = \frac{5}{x}\]

- убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим x=1.

Ответ: ±1.

В алгебре решение уравнений с применением возрастания и убывания функций чаше всего используется при решении иррациональных, логарифмических, показательных уравнений. Полезно взять на вооружение этот удобный и быстрый способ.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>