Решение дробно-рациональных уравнений

В прошлый раз мы рассмотрели решение дробно-рациональных уравнений приведением уравнений к виду «дробь равна нулю».

Решение дробно-рациональных уравнений с помощью введения вспомогательной переменной удобно в том случае, когда переменная входит в уравнение в выражениях одного вида.

Рассмотрим этот способ решения дробно-рациональных уравнений на конкретных примерах.

$1)\frac{{{x^2}}}{{{{(3x - 1)}^2}}} - \frac{{4x}}{{3x - 1}} = 5$

ОДЗ: x≠1/3.

Пусть

$\frac{x}{{3x - 1}} = t,$

тогда

$\frac{{{x^2}}}{{{{(3x - 1)}^2}}} = {t^2}$

и получаем квадратное уравнение

${t^2} - 4t - 5 = 0$

Его корни —

${t_1} = - 1;{t_2} = 5$

Возвращаемся к исходной переменной

$\frac{x}{{3x - 1}} = - 1;\frac{x}{{3x - 1}} = 5$

Оба уравнения удобнее всего решить, воспользовавшись основным свойством пропорции. Запишем их в виде

$\frac{x}{{3x - 1}} = \frac{{ - 1}}{1};\frac{x}{{3x - 1}} = \frac{5}{1}$

и приравняем произведение крайних и средних членов пропорций:

$- (3x - 1) = x;5(3x - 1) = x$

$- 4x = - 1;14x = 5$

$x = \frac{1}{4};x = \frac{5}{{14}}$

Ответ:

$\frac{1}{4};\frac{5}{{14}}.$

$2)\frac{1}{{{x^2} - 2x - 1}} + \frac{2}{{{x^2} - 2x + 1}} = 1$

Если привести дроби к наименьшему общему основанию непосредственно, в числителе получим многочлен четвёртой степени. Замена

${x^2} - 2x = t,$

приводит к дробно-рациональному уравнению

$\frac{1}{{t - 1}} + \frac{2}{{t + 1}} = 1$

Переносим все слагаемые в левую сторону и приводим дроби к НОЗ:

$\frac{{{1^{\backslash (t + 1)}}}}{{t - 1}} + \frac{{{2^{\backslash (t - 1)}}}}{{t + 1}} - {1^{\backslash (t - 1)(t + 1)}} = 0$

$\frac{{(t + 1) + 2(t - 1) - ({t^2} - 1)}}{{(t - 1)(t + 1)}} = 0$

$\frac{{t + 1 + 2t - 2 - {t^2} + 1}}{{(t - 1)(t + 1)}} = 0$

$\frac{{ - {t^2} + 3t}}{{(t - 1)(t + 1)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {t^2} + 3t = 0\\ (t - 1)(t + 1) \ne 0 \end{array} \right.$

$(t - 1)(t + 1) \ne 0$

$t \ne 1;t \ne - 1$

— эти значения переменной, при которой знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ.

$- {t^2} + 3t = 0\left| {:( - 1)} \right.$

${t^2} - 3t = 0$

$t(t - 3) = 0$

${t_1} = 0;{t_2} = 3$

Оба корня удовлетворяют условиям на t. Обратная замена

${x^2} - 2x = 0;{x^2} - 2x = 3$

$x(x - 2) = 0;{x^2} - 2x - 3 = 0$

${x_1} = 0;{x_2} = 2;{x_2} = - 1;{x_4} = 3$

Ответ: -1; 0; 2; 3.

$3)\frac{{x - 3}}{{x + 2}} + \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 4\frac{1}{4}$

ОДЗ: x≠-2; x≠3.

Пусть

$\frac{{x - 3}}{{x + 2}} = t,$

тогда

$\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{1}{t}.$

Из ОДЗ следует, что t≠0.

$t + \frac{1}{t} = \frac{{17}}{4}$

${t^{\backslash 4t}} + \frac{{{1^{\backslash 4}}}}{t} = \frac{{{{17}^{\backslash t}}}}{4}\_\_\_\left| { \cdot (4t) \ne 0} \right.$

$4{t^2} - 17t + 4 = 0$

${t_1} = 4;{t_2} = \frac{1}{4}$

Обратная замена

$\frac{{x - 3}}{{x + 2}} = 4;\frac{{x - 3}}{{x + 2}} = \frac{1}{4}$

По основному свойству пропорции

$4(x + 2) = x - 3;x + 2 = 4(x - 3)$

$4x + 8 = x - 3;x + 2 = 4x - 12$

$3x = - 11; - 3x = - 14$

${x_1} = - 3\frac{2}{3};{x_2} = 4\frac{2}{3}$

Ответ:

$- 3\frac{2}{3};4\frac{2}{3}.$

Добавить комментарий Отменить ответ