Арксинус | Алгебра

Что такое арксинус?

Понятие арксинуса появляется в ходе решения задачи нахождения числа по данному значению синуса этого числа.

Найдём функцию, обратную к функции y=sin x. Для этого выберем промежуток [-π/2; π/2], на котором функция y=sinx строго монотонна (возрастает), то есть выполняется условие обратимости:

arksinus

1) В формуле функции y=sin x на место x подставляем y, на место y — x:

x=sin y.

2) Из полученного равенства нужно выразить y через x. Для этого вводится определения арксинуса (арксинус x обозначают как arcsin x).

Определение

Арксинусом числа a называется такое число b из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен a:

$\arcsin a = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b \in [ - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\\ \sin b = a \end{array} \right.$

opredelenie-arksinusa

Таким образом, решение уравнения x=sin y на [-π/2; π/2] —

y=arsin x.

Так как функция y=sin x определена на промежутке [-π/2;π/2] и принимает на этом промежутке все значения [-1; 1], то область определения арксинуса — промежуток [-1; 1], область значений — [-π/2;π/2].

Таблица значений синуса из промежутка [-π/2; π/2] —

$\begin{array}{*{20}{c}} b&\vline& { - \frac{\pi }{2}}&\vline& { - \frac{\pi }{3}}&\vline& { - \frac{\pi }{4}}&\vline& { - \frac{\pi }{6}}\\ \hline {\sin b}&\vline& { - 1}&\vline& { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& { - \frac{1}{2}} \end{array}$

$\begin{array}{*{20}{c}} b&\vline& 0&\vline& {\frac{\pi }{6}}&\vline& {\frac{\pi }{4}}&\vline& {\frac{\pi }{3}}&\vline& {\frac{\pi }{2}}\\ \hline {\sin b}&\vline& 0&\vline& {\frac{1}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& 1 \end{array}$

Соответственно, таблица значений арксинуса —

$\begin{array}{*{20}{c}} a&\vline& { - 1}&\vline& { - \frac{1}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\ \hline {\arcsin a}&\vline& { - \frac{\pi }{2}}&\vline& { - \frac{\pi }{6}}&\vline& { - \frac{\pi }{4}}&\vline& { - \frac{\pi }{3}} \end{array}$

$\begin{array}{*{20}{c}} a&\vline& {\frac{1}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 2 }}{2}}&\vline& {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&\vline& 1\\ \hline {\arcsin a}&\vline& {\frac{\pi }{6}}&\vline& {\frac{\pi }{4}}&\vline& {\frac{\pi }{3}}&\vline& {\frac{\pi }{2}} \end{array}$

Графики взаимно обратных функций y=arcsinx и y=sinx (на рассматриваемом промежутке) симметричны относительно прямой y=x:

sinus-i-arksinus

В алгебре (точнее, в тригонометрии. Раньше тригонометрия изучалась отдельным от алгебры и геометрии курсом) арксинус нужен для решения тригонометрических уравнений вида sin x=a.

Добавить комментарий Отменить ответ