Дискриминант на 4

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac\]

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней  квадратного уравнения зависит от знака D/4.

  • Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:

        \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a}\]

  • Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

        \[x = \frac{{ - b}}{{2a}}\]

  • Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

    \[1)5{x^2} + 16x + 3 = 0\]

    \[a = 5;b = 16;c = 3\]

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{16}}{2})^2} - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49\]

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{16}}{2} \pm \sqrt {49} }}{5} = \frac{{ - 8 \pm 7}}{5}\]

    \[{x_1} = \frac{{ - 8 + 7}}{5} = - \frac{1}{5} = - 0,2;\]

    \[{x_2} = \frac{{ - 8 - 7}}{5} = - \frac{{15}}{5} = - 3\]

Ответ: -0,2; -3.

    \[2)3{x^2} - 28x + 9 = 0\]

    \[a = 3;b = - 28;c = 9\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 28}}{2})^2} - 3 \cdot 9 = \]

    \[ = 196 - 27 = 169\]

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 28}}{2} \pm \sqrt {169} }}{3} = \]

    \[ = \frac{{14 \pm 13}}{3}\]

    \[{x_1} = = \frac{{14 + 13}}{3} = \frac{{27}}{2} = 9;\]

    \[{x_2} = \frac{{14 - 13}}{3} = \frac{1}{3}\]

Ответ: 9; 1/3.

    \[3)9{x^2} + 42x + 49 = 0\]

    \[a = 9;b = 42;c = 49\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{42}}{2})^2} - 9 \cdot 49 = \]

    \[ = 441 - 441 = 0\]

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

    \[x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 42}}{{2 \cdot 9}} = - \frac{7}{3} = - 2\frac{1}{3}\]

Ответ: -2 1/3.

    \[4){x^2} - 20x + 136 = 0\]

    \[a = 1;b = - 20;c = 136\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 20}}{2})^2} - 1 \cdot 136 = \]

    \[ = 100 - 136 = - 36\]

Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

    \[5)2{x^2} + 8x + 5 = 0\]

    \[a = 2;b = 8;c = 5\]

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{8}{2})^2} - 2 \cdot 5 = 6\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{8}{2} \pm \sqrt 6 }}{2} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}\]

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Ответ:

    \[\frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}.\]

 

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>