Дробь равна нулю

Когда дробь равна нулю?

Дробная черта — это знак деления. При делении нуля на любое число, кроме нуля, получим нуль. На нуль делить нельзя.

Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Решение многих задач в алгебре сводится к решению дробно рациональных уравнений, которые, в свою очередь, сводятся к уравнению типа «дробь равна нулю».

Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так:

drob-ravna-nulyu

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

3) Проверить, нет ли среди корней уравнения «числитель равен нулю» значений, при которых знаменатель обращается в нуль. Если есть, их следует исключить.

4) Записать ответ.

Примеры.

$1)\frac{{{x^2} - 10x + 21}}{{{x^2} - 49}} = 0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 10x + 21 = 0\\ {x^2} - 49 \ne 0 \end{array} \right.$

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

${x^2} - 49 \ne 0$

Можно приравнять выражение, стоящее в левой части неравенства, к нулю, и решать как обычное неполное квадратное уравнение. Можно решать как уравнение, только вместо знака равенства каждый раз писать «≠».

$(x - 7) \cdot (x + 7) \ne 0$

$x - 7 \ne 0;x + 7 \ne 0$

$x \ne 7;x \ne - 7$

При этих значениях переменной выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла (так как на нуль делить нельзя).

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

${x^2} - 10x + 21 = 0$

$a = 1;b = - 10;c = 21$

Ищем дискриминант. Так как b= -10 — чётное число, здесь удобнее воспользоваться формулой для D/4:

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 10}}{2}} \right)^2} - 1 \cdot 21 = 4$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 10}}{2} \pm \sqrt 4 }}{1} = 5 \pm 2$

${x_1} = 5 + 2 = 7;{x_2} = 5 - 2 = 3.$

Первый из корней — посторонний (он не удовлетворяет условию x≠7), поэтому в ответ записывает только корень 3. Ответ: 3.

$2)\frac{{4x - 8{x^2}}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = 0$

Это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} 4x - 8{x^2} = 0\\ 2{x^2} - 5x + 2 \ne 0 \end{array} \right.$

$2{x^2} - 5x + 2 \ne 0$

Решим обычное квадратное уравнение

$2{x^2} - 5x + 2 = 0$

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

$a = 2,b = - 5,c = 2$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 5)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5) \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 \pm 3}}{4}$

${x_1} = \frac{{5 + 3}}{4} = 2;{x_2} = \frac{{5 - 2}}{4} = 0,5$

Отсюда

$x \ne 2;x \ne 0,5.$

Решаем уравнение

$4x - 8{x^2} = 0$

Общий множитель 4x выносим за скобки

$4x(1 - 2x) = 0$

и решаем уравнение типа «произведение равно нулю» :

$4x = 0;1 - 2x = 0$

$x = 0;x = 0,5$

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

Ответ: 0.

$3)\frac{{3x - 12}}{{{x^2} - 4x}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 12 = 0\\ {x^2} - 4x \ne 0 \end{array} \right.$

${x^2} - 4x \ne 0$

$x \cdot (x - 4) \ne 0$

$x \ne 0;x \ne 4$

Переходим к решению уравнения 3x-12=0. Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известное — в другую с противоположным знаком:

$3x = 12$

$x = 4$

Полученный корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x≠4. Значит, исходное уравнение типа «дробь равна 0» корней не имеет.

Ответ: нет корней.

$4)\frac{{{x^2} - x - 42}}{{16{x^2} - 8x + 1}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x - 42 = 0\\ 16{x^2} - 8x + 1 \ne 0 \end{array} \right.$

$16{x^2} - 8x + 1 \ne 0$

Решаем квадратное уравнение

$16{x^2} - 8x + 1 = 0$

$a = 16;b = - 8;c = 1$

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 8}}{2}} \right)^2} - 16 \cdot 1 = 0$

Так как D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{8}{{2 \cdot 16}} = \frac{1}{4}$

Отсюда

$x \ne \frac{1}{4}.$

Теперь решаем уравнение

${x^2} - x - 42 = 0$

$a = 1;b = - 1;c = - 42$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 42) = 169$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {169} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{1 \pm 13}}{2}$

${x_1} = \frac{{1 + 13}}{2} = 7;{x_2} = \frac{{1 - 13}}{2} = - 6.$

Посторонних корней нет (оба корня удовлетворяют условию x≠1/4).

Ответ: 7; -6.

Добавить комментарий Отменить ответ