Как решать линейные неравенства

Как решать линейные неравенства? Для начала неравенство надо упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

Рассмотрим примеры решения линейных неравенств с одной переменной.

$1)5(x - 1) + 7 \le 1 - 3(x + 2)$

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем его на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не меняются. Если перед скобками стоит знак «минус», знаки в скобках меняются на противоположные.

$5x - 5 + 16 \le 1 - 3x - 6$

Приводим подобные слагаемые.

$5x + 11 \le - 3x - 5$

Получили неравенство вида ax+b≤cx+d. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками (можно было сначала перенести неизвестные в одну сторону, известные в другую, а уже потом привести подобные слагаемые).

$5x + 3x \le - 5 - 11$

$8x \le - 16$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 8 больше нуля, знак неравенства не меняется:

$8x \le - 16\_\_\_\left| {:8 > 0} \right.$

$x \le - 2$

Так как неравенство нестрогое, точку -2 отмечаем на числовой прямой закрашенной. Штриховка идёт влево от -2, на минус бесконечность.

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -2 записываем с квадратной скобкой.

Ответ:

$x \in ( - \infty ; - 2].$

$2)2,5(2 - 3x) - 1,2(x + 3) < 9 - 8,1x$

Чтобы от десятичных дробей перейти к целым числам, можно обе части неравенства умножить на 10 (это не обязательно. Можно работать с десятичными дробями).

$2,5(2 - 3x) - 1,2(x + 3) < 9 - 8,1x\_\_\_\left| { \cdot 10 > 0} \right.$

При умножении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Умножать на 10 надо каждое слагаемое. При умножении произведения на 10 используем сочетательное свойство умножения, то есть умножаем на 10 только один множитель.

$25(2 - 3x) - 12(x + 3) < 90 - 81x$

Раскрываем скобки:

$50 - 75x - 12x + 36 < 90 - 81x$

Приводим подобные слагаемые:

$86 - 87x < 90 - 81x$

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$- 87x + 81x < 90 - 86$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку -6 — отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$- 6x < 4\_\_\_\left| {:( - 6) < 0} \right.$

$x > \frac{4}{{ - 6}}$

Сокращаем дробь:

$x > - \frac{2}{3}$

Так как неравенство строгое, на числовой прямой -2/3 отмечаем выколотой точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

Неравенство строгое, точка выколотая, поэтому в ответ -2/3 записываем с круглой скобкой:

Ответ:

$x \in ( - \frac{2}{3};\infty ).$

$3)4x(x - 1) - (2x - 3)(2x + 5) > 3 -$

$- 2(2 - 6x)$

Раскрываем скобки. Если перед произведением двух скобок стоит знак «минус», удобно сначала выполнить умножение, и только потом раскрывать скобки, изменяя знак каждого слагаемого на противоположный:

$4{x^2} - 4x - (4{x^2} + 10x - 6x - 15) >$

$> 3 - 4 + 12x$

$4{x^2} - 4x - 4{x^2} - 10x + 6x + 15 >$

$> 3 - 4 + 12x$

Приводим подобные слагаемые:

$2x + 15 > 12x - 1$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$2x - 12x > - 1 - 15$

$- 10x > - 16\_\_\_\left| {:( - 10) < 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{{ - 16}}{{ - 10}}$

$x < 1,6$

Поскольку неравенство строгое, 1,6 отмечаем на числовой прямой выколотой точкой. Штриховка от 1,6 идёт влево, на минус бесконечность:

Так как неравенство строгое и точка выколотая, 1,6 в ответ записываем с круглой скобкой:

Ответ:

$x \in ( - \infty ;1,6).$

$4)24x - (8x - 1)(8x + 1) \ge 3x - {(8x - 1)^2}$

Произведение разности двух выражений на их сумму, стоящее в левой части неравенства, сворачиваем по формуле в разность квадратов.

В правой части неравенства — квадрат разности.

Перед скобками в обеих частях стоит знак «минус», поэтому сначала преобразуем выражения в скобках по формулам, и только потом раскрываем скобки, изменив при этом знак каждого слагаемого на противоположный:

$24x - (64{x^2} - {1^2}) \ge 3x - (64{x^2} - 16x + {1^2})$

$24x - 64{x^2} + 1 \ge 3x - 64{x^2} + 16x - 1$

Переносим неизвестные в одну чторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$24x - 64{x^2} + 64{x^2} - 3x - 16x \ge - 1 - 1$

$5x \ge - 2\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{{ - 2}}{5}$

$x \ge - 0,4$

Так как неравенство нестрогое, -0,4 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -0,4 записываем с квадратной скобкой:

Ответ:

$x \in [ - 0,4;\infty ).$

Часто в алгебре требуется не просто решить линейное неравенство, а выбрать из множества решений конкретное значение, например, наибольшее целое или наименьшее натуральное решение. Позже мы рассмотрим, как решать такие задачи.

Добавить комментарий Отменить ответ