Произведение суммы и разности

Произведение суммы и разности двух выражений можно найти как произведение многочленов. Для ускорения вычислений удобнее вывести формулу.

Найдем произведение суммы и разности двучленов непосредственным умножением:

    \[(a - b)(a + b) = {a^2} + ab - ab - {b^2} = {a^2} - {b^2}\]

  -ab и +ab — противоположные слагаемые, поэтому их сумма равна нулю.

Вывод:

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений.

Формула произведения суммы и разности:

    \[(a - b)(a + b) = {a^2} - {b^2}\]

Произведение суммы и разности двух выражений можно изобразить схематически так:

proizvedenie summyi i raznosti

Рассмотрим на примерах, как находить произведение суммы и разности двух выражений с помощью схемы и с помощью формулы.

1)(3a+5b)(3a-5b)

Если все, что стоит до «+» и до «-», заключить в квадрат, все, что после этих знаков — в круг, то произведение суммы (3a+5b) и разности (3a-5b) с помощью схемы можно представить так:

proizvedenie summyi i raznosti chisel

Чтобы применить форму произведения суммы разности, найдем a и b. В данном примере a=3a, b=3b:

    \[(3a + 5b)(3a - 5b) = {(3a)^2} - {(5b)^2} = 9{a^2} - 25{b^2};\]

Важно помнить — при возведении в квадрат произведения нескольких множителей, дроби или степени их обязательно следует записывать в скобках!

    \[2)(2{x^5} + 7y)(2x - 7y) = {(2{x^5})^2} - {(7y)^2} = \]

    \[ = 4{x^{10}} - 49{y^2};\]

Как найти произведение суммы и разности, если слагаемые в скобках поменять местами?

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Поэтому в разности квадратов на первое месте нужно поставить то выражение, которое стоит на первом месте в разности. Например,

    \[(b + a)(\underline{\underline a} - b) = {a^2} - {b^2}\]

    \[(2m + 9n)(\underline{\underline {9n}} - 2m) = {(9n)^2} - {(2m)^2} = 81{n^2} - 4{m^2};\]

    \[(\underline{\underline {1\frac{2}{3}}} - z)(z + 1\frac{2}{3}) = {(\frac{5}{3})^2} - {z^2} = \frac{{25}}{9} - {z^2} = 2\frac{7}{9} - {z^2}.\]

Выражения вида (-a-b)(a-b) также можно упрощать по формуле произведения суммы и разности. Вынесем  -1 и из первых скобок, и из вторых:

    \[( - a - b)(a - b) = - 1 \cdot (a + b) \cdot ( - 1)(b - a) = \]

(-1)∙(-1)=1, получаем

    \[ = (a + b)(b - a)\]

Таким образом,

    \[( - a - b)(a - b) = (a + b)(\underline{\underline b} - a)\]

Например,

    \[( - 4x - 3)(4x - 3) = (4x + 3)(\underline{\underline 3} - 4x) = \]

    \[ = {3^2} - {(4x)^2} = 9 - 16{x^2};\]

    \[( - \frac{2}{5}a - 8b)(\frac{2}{5}a - 8b) = (\frac{2}{5}a + 8b)(\underline{\underline {8b}} - \frac{2}{5}a) = \]

    \[ = {(8b)^2} - {(\frac{2}{5}a)^2} = 64{b^2} - \frac{4}{{25}}{a^2}.\]

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>