Квадрат разности

Квадрат разности двух выражений, как и квадрат суммы, удобнее искать с помощью формулы.

Выведем для квадрата разности формулу сокращенного умножения.

Квадрат разности — это произведение двух одинаковых множителей a-b.  Выполнив умножение многочленов, получаем:

    \[{(a - b)^2} = (a - b)(a - b) = \]

    \[ = {a^2} - ab - ab + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}.\]

Таким образом,

формула квадрата разности:

    \[{(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\]

Каким образом пользоваться этой формулой?

Если нужно возвести в квадрат разность двух выражений, сначала определяем, чему равны a и  b.  Все, что стоит до знака «+» — это a, все, что после знака «+» -это b.  Вместо a и b подставляем свои выражения и применяем формулу.

Например,

    \[1){(t - 5)^2}  \]

Здесь a=t, b=5. По формуле квадрата разности,

    \[1){(t - 5)^2} = {t^2} - 2 \cdot t \cdot 5 + {5^5} = {t^2} - 10t + 25.\]

Облегчить нахождение квадрата разности в начале знакомства с формулой может помочь схема.

Чтобы лучше понять, что есть a и b в формуле, все, что стоит до знака «+», заключаем в квадрат, все, что стоит после «+» — в круг:

kvadrat raznosti

Например, чтобы найти квадрат разности (3a-4b)², применив схему, получаем

formula kvadrata raznosti

Важно!

При возведении в квадрат произведения нескольких множителей или степени их обязательно нужно брать в скобки!

Теперь возведем разность 3a-4b в квадрат

    \[{(3a - 4b)^2} = {(3a)^2} - 2 \cdot 3a \cdot 4b + {(4b)^2} = \]

    \[ = 9{a^2} - 24ab + 16{b^2}.\]

И еще пара примеров нахождения квадрата разности.

    \[3){(2{x^7} - 9x)^2} = {(2{x^7})^2} - 2 \cdot 2{x^7} \cdot 9x + {(9x)^2} = \]

При возведении степени в степень показатели перемножаем, при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываем

    \[ = 4{x^{14}} - 36{x^8} + 81{x^2};\]

    \[4){(2\frac{1}{3}x - \frac{6}{7}y)^2} = {(\frac{7}{3}x - \frac{6}{7}y)^2} = \]

Чтобы возвести в квадрат смешанное число, его сначала нужно перевести в неправильную дробь

    \[ = {(\frac{7}{3}x)^2} - 2 \cdot \frac{7}{3}x \cdot \frac{6}{7}y + {(\frac{6}{7}y)^2} = \]

    \[ = \frac{{49}}{9}{x^2} - \frac{{2 \cdot \mathop {\overline 7 }\limits^1 \cdot \mathop {\overline 6 }\limits^2 }}{{\mathop {\underline 3 }\limits_1 \cdot \mathop {\underline 7 }\limits_1 }}xy + \frac{{36}}{{49}}{y^2} = \]

После возведения в квадрат неправильную дробь переводим в смешанное число, выделив из нее целую часть:

    \[ = 5\frac{4}{9}{x^2} - 4xy + \frac{{36}}{{49}}{y^2}.\]

Формулы сокращенного умножения в алгебре используются не только для раскрытия скобок, но и для разложения многочлена на множители.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>