Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная находится под знаком корня.

В большинстве случаев в ходе решения иррациональное уравнение сводят к рациональному с помощью некоторых преобразований.

Чаще всего иррациональные уравнения решают с помощью возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень (возможно, несколько раз).

При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному (на ОДЗ).

$\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} = g(x) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}}} \right)^{2n + 1}} = {\left( {g(x)} \right)^{2n + 1}},$

то есть

$\sqrt[{2n + 1}]{{f(x)}} = g(x) \Leftrightarrow f(x) = {\left( {g(x)} \right)^{2n + 1}}$

Пример 1,

$\sqrt[3]{{{x^2} + 2x}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{{x^2} + 2x}}} \right)^3} = {2^3},$

${x^2} + 2x = 8$

${x^2} + 2x - 8 = 0$

${x_1} = - 4,{x_2} = 2.$

Ответ: -4; 2.

При возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут появиться посторонние корни. Можно отсеивать их проверкой.

Другой подход — метод равносильных преобразований. При возведении обеих частей уравнения

$\sqrt[{2n}]{{f(x)}} = g(x)$

в чётную степень получим уравнение, равносильное данному, при условии, что обе части уравнения неотрицательны.

$\sqrt[{2n}]{{f(x)}} \ge 0$

по определению. Остаётся наложить условие g(x)≥0.

Таким образом,

$\sqrt[{2n}]{{f(x)}} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) = {{\left( {g(x)} \right)}^{2n}};}\\ {g(x) \ge 0.} \end{array}} \right.( * )$

В частности,

$\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = {\left( {g(x)} \right)^2};\\ g(x) \ge 0. \end{array} \right.$

Пример 2.

$x + \sqrt {x + 1} = 5$

Приведём уравнение к виду

$\sqrt {f(x)} = g(x)$

$\sqrt {x + 1} = 5 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 1 = {\left( {5 - x} \right)^2};\\ 5 - x \ge 0. \end{array} \right.$

При x≤5

$x + 1 = 25 - 10x + {x^2}$

${x^2} - 11x + 24 = 0$

${x_1} = 3,{x_2} = 8.$

Второй корень не удовлетворяет условию x≤5.

Ответ: 3.

Вообще говоря, если на некотором множестве f(x)≥0 и g(x)≥0, то на этом множестве

$f(x) = g(x) \Leftrightarrow {\left( {f(x)} \right)^{2n}} = {\left( {g(x)} \right)^{2n}}.$

Рассмотрим уравнение вида

$\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = a$

Так как

$\sqrt {f(x)} \ge 0,\sqrt {g(x)} \ge 0,$

то и

$\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} \ge 0.$

Если a<0, уравнение не имеет корней, так как сумма неотрицательных чисел не может быть равной отрицательному числу.

Если a=0, то

$\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0,\\ g(x) = 0, \end{array} \right.$

так как сумма неотрицательных чисел равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю.

Пример 3.

$\sqrt {{x^2} + 7x + 10} + \sqrt {25 - {x^2}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + 7x + 10} = 0;\\ \sqrt {25 - {x^2}} = 0; \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 7x + 10 = 0;\\ 25 - {x^2} = 0; \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 5;\\ {x_2} = - 2; \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 5;\\ {x_2} = 5; \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow x = - 5.$

Ответ: -5.

Если же a≥0, то можем возвести в квадрат обе части уравнения. Возведение в квадрат неотрицательных левой и правой частей уравнения не приведёт к появлению посторонних корней.

$\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = a$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} } \right)^2} = {a^2}$

$f(x) + 2\sqrt {f(x)} \cdot \sqrt {g(x)} + g(x) = {a^2}$

$2\sqrt {f(x)} \cdot \sqrt {g(x)} = {a^2} - f(x) - g(x)$

Получили уравнение уже знакомого вида.

Пример 4.

$\sqrt {x + 2} + \sqrt {3x - 2} = 4$

${\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {3x - 2} } \right)^2} = {4^2}$

$x + 2 + 2\sqrt {x + 2} \cdot \sqrt {3x - 2} + 3x - 2 = 16$

$2\sqrt {x + 2} \cdot \sqrt {3x - 2} = 16 - 4x\_\_\_\left| {:2} \right.$

$\sqrt {x + 2} \cdot \sqrt {3x - 2} = 8 - 2x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\sqrt {x + 2} \cdot \sqrt {3x - 2} } \right)^2} = {\left( {8 - 2x} \right)^2};\\ 8 - 2x \ge 0; \end{array} \right.$

При условии x≤4

$(x + 2)(3x - 2) = 64 - 32x + 4{x^2}$

${x^2} - 36x + 68 = 0$

${x_1} = 2;{x_2} = 34.$

Второй корень не удовлетворяет условию. x≤4.

Ответ: 2.

Рассмотрим уравнение вида

$\sqrt {f(x)} - \sqrt {g(x)} = a$

В левой части уравнения — разность корней. Если

$\sqrt {f(x)} < \sqrt {g(x)} ,$

то

$\sqrt {f(x)} - \sqrt {g(x)} < 0.$

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

$\sqrt {f(x)} = a + \sqrt {g(x)}$

При a≥0 обе части уравнения неотрицательны, а значит, исходное уравнение равносильно уравнению

${\left( {\sqrt {f(x)} } \right)^2} = {\left( {a + \sqrt {g(x)} } \right)^2},$

откуда

$f(x) - {a^2} - g(x) = 2a\sqrt {g(x)} .$

Получили уравнение вида (*).

Пример 5.

$\sqrt {2x + 14} - \sqrt {3x + 1} = 2$

$\sqrt {2x + 14} = 2 + \sqrt {3x + 1}$

${\left( {\sqrt {2x + 14} } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt {3x + 1} } \right)^2}$

$2x + 14 = 4 + 4\sqrt {3x + 1} + 3x + 1$

$9 - x = 4\sqrt {3x + 1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {9 - x} \right)^2} = {\left( {4\sqrt {3x + 1} } \right)^2},\\ 9 - x \ge 0, \end{array} \right.$

и, при x≤9,

$81 - 18x + {x^2} = 16(3x + 1)$

${x^2} - 66x + 65 = 0$

${x_1} = 1;{x_2} = 65.$

Второй корень не удовлетворяет условию x≤9.

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида

$\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)}$

Обе части уравнения неотрицательны. При возведении в квадрат получим уравнение f(x)=g(x). Чтобы исключить появление посторонних корней, достаточно потребовать выполнение одного из условий: f(x)≥0 либо g(x)≥0 (выбираем, что проще). То есть

$\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x),\\ \left[ \begin{array}{l} f(x) \ge 0,\\ g(x) \ge 0. \end{array} \right. \end{array} \right.$

Пример 6.

$\sqrt {{x^2} + 4x - 16} = \sqrt {2x - 1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\sqrt {{x^2} + 4x - 16} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^2},\\ 2x - 1 \ge 0, \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 4x - 16 = 2x - 1,\\ 2x \ge 1, \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2x - 15 = 0,\\ x \ge \frac{1}{2}, \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 2,\\ {x_2} = - 5, \end{array} \right.\\ x \ge \frac{1}{2}, \end{array} \right. \Rightarrow x = 2.$

Ответ: 2.

Пример 7.

$\sqrt {x - 2 + 2\sqrt {x + 6} } = 4$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\sqrt {x - 2 + 2\sqrt {x + 6} } } \right)^2} = {4^2},\\ x - 2 + 2\sqrt {x + 6} \ge 0,\\ x + 6 \ge 0. \end{array} \right.$

Не торопимся решать неравенства. Из первого условия следует

$x - 2 + 2\sqrt {x + 6} = 16$

Поскольку

$x - 2 + 2\sqrt {x + 6} = 16 > 0,$

то второе условие выполнено, соответственно, это неравенство можно не решать. Далее,

$2\sqrt {x + 6} = 18 - x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {2\sqrt {x + 6} } \right)^2} = {\left( {18 - x} \right)^2},\\ 18 - x \ge 0, \end{array} \right.$

$4(x + 6) = 324 - 36x + {x^2}$

Получаем, что

$4(x + 6) = {\left( {18 - x} \right)^2} \ge 0,$

поэтому условие

$x + 6 \ge 0$

также выполнено.

$\left\{ \begin{array}{l} 4(x + 6) = 324 - 36x + {x^2},\\ x \le 18, \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 40x + 300 = 0,\\ x \le 18, \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 10,\\ {x_2} = 40, \end{array} \right.\\ x \le 18, \end{array} \right. \Rightarrow x = 10.$

Ответ: 10.

Уравнения вида

$\frac{{{k_1}}}{{\sqrt {f(x)} }} + {k_2}\sqrt {f(x)} = {k_3}$

можно решить с помощью замены переменной. Однако, можно обойтись и без введения новой переменной.

Область допустимых значений данного уравнения f(x)>0. Поэтому умножение обеих частей уравнения на √f(x) не ведёт к потере корней или появлению посторонних корней:

$\frac{{{k_1}}}{{\sqrt {f(x)} }} + {k_2}\sqrt {f(x)} = {k_3}\_\_\left| \cdot \right.\sqrt {f(x)} \ne 0$

$\Leftrightarrow {k_1} + {k_2} \cdot f(x) = {k_3} \cdot \sqrt {f(x)}$

Получили уравнение вида (*).

Пример 8.

$\frac{8}{{\sqrt {6 - x} }} - \sqrt {6 - x} = 2$

ОДЗ:6-x>0, x<6.

$\frac{8}{{\sqrt {6 - x} }} - \sqrt {6 - x} = 2\_\_\left| \cdot \right.\sqrt {6 - x} \ne 0$

$8 - (6 - x) = 2\sqrt {6 - x}$

$2 + x = 2\sqrt {6 - x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {2 + x} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {6 - x} } \right)^2},\\ 2 + x \ge 0, \end{array} \right.$