Первый, второй и третий насосы наполняют бассейн

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 48 минут, второй и третий – за 1 час 10 минут, а первый и третий – за 1 час 20 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Примем весь бассейн за 1.

Пусть, работая отдельно, первый насос может наполнить бассейн за x минут, второй — за y минут, третий — за z минут.

	Время работы	Объём работы	Производительность труда
1 насос	x	1	1/x
2 насос	y	1	1/y
3 насос	z	1	1/z

Так как первый и второй насосы, работая вместе, наполняют бассейн за 48 минут, то за 1 минуту они наполняют за 1/48 бассейна. Отсюда имеем уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{48}}$

Так как второй и третий насосы вместе наполняют бассейн за 1 час 10 минут =70 минут, то за 1 минуту они наполняют 1/70 бассейна, и

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{70}}$

Первый и третий насосы вместе наполняют бассейн за 1 час 20 минут = 80 минут. Значит, за 1 минуту они наполняют 1/80 бассейна, и

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{80}}$

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{48}} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{70}} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{80}} \\ \end{array} \right.$

Сложим почленно все три уравнения:

$\frac{{\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{48}} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{70}} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{80}} \\ \end{array} \right.}}{{2\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{70}} + \frac{1}{{80}}}}$