Замена переменной в иррациональных уравнениях

Если в уравнение переменная входит в составе выражения одного и того же вида, то удобно это выражение с переменной обозначить одной буквой — новой переменной. Метод замены переменной используется при решении иррациональных уравнений.

Пример 1.

$2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0$

Решение:

ОДЗ: x≥0.

Пусть

$\sqrt[6]{x} = t,$

здесь t≥0. Получили квадратное уравнение

$2{t^2} + 5t - 3 = 0,$

корни которого —

${t_1} = \frac{1}{2},{t_2} = - 3.$

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$

${\left( {\sqrt[6]{x}} \right)^6} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^6}$

$x = \frac{1}{{64}}$

Ответ:

$\frac{1}{{64}}.$

Заметим, что условие x≥0 в данном уравнении оказалось лишним. Посторонний корень отсеивается условием на переменную t: t≥0.

Пример 2.

$x\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{{{x^5}}} = 3$

ОЗД: x≥0 (Здесь ОДЗ пишем, поскольку условие x≥0 позволяет нам вносить x под знак корня чётной степени).

Внесём x под знак корня четвёртой степени:

$\sqrt[4]{{{x^4} \cdot x}} + 2\sqrt[8]{{{x^5}}} = 3$

$\sqrt[4]{{{x^5}}} + 2\sqrt[8]{{{x^5}}} = 3$

Пусть

$\sqrt[8]{{{x^5}}} = t,t \ge 0.$

Пришли к квадратному уравнению

${t^2} + 2t - 3,$

корни которого

${t_1} = 1;{t_2} = - 3.$

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0.

Обратная замена:

$\sqrt[8]{{{x^5}}} = 1$

${\left( {\sqrt[8]{{{x^5}}}} \right)^6} = {1^6}$

${x^5} = 1$

$x = 1$

Ответ: 1.

Пример 3.

${x^2} - x + \sqrt {{x^2} - x - 2} = 8$

Решение:

ОДЗ:

${x^2} - x - 2 \ge 0$

Можно не записывать. Посторонний корень (если он появится) отсеивается условием на новую переменную.

Хорошо бы в качестве новой переменной взять

$\sqrt {{x^2} - x - 2} .$

Для этого нам нужно, чтобы выражение,стоящее под знаком корня, входило в уравнение также без корня. У нас пока что есть только его часть, x²-x. Это выражение не изменится, если мы вычтем из него 2 и тут же прибавим 2:

${x^2} - x - 2 + 2 + \sqrt {{x^2} - x - 2} = 8$

Теперь можем вводить новую переменную.

Пусть

$\sqrt {{x^2} - x - 2} = t,t \ge 0.$

Получаем квадратное уравнение

${t^2} + t - 6 = 0,$

корни которого

${t_1} = 2;{t_2} = - 3.$

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. После обратной замены получаем

$\sqrt {{x^2} - x - 2} = 2$

${\left( {\sqrt {{x^2} - x - 2} } \right)^2} = {2^2}$

${x^2} - x - 2 = 4$

${x^2} - x - 6 = 0$

${x_1} = 3;{x_2} = - 2.$

Ответ: 3; -2.

Пример 4.

${x^2} + 2\sqrt {41 - {x^2}} = 26$

ОДЗ:41-x²≥0 (можно не записывать).

Хорошо бы в качестве новой переменной взять выражение

$\sqrt {41 - {x^2}} .$

Чтобы так поступить, в уравнении требуется получить выражение 41-x². Для этого сначала умножим обе части уравнения на -1, а затем прибавим и вычтем 41:

${x^2} + 2\sqrt {41 - {x^2}} = 26\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right.$