Метод введения параметра

Метод введения параметра позволяет нестандартное уравнение привести к уравнению привычного вида (например, к квадратному уравнению).

Рассмотрим конкретные примеры уравнений, которые можно решить методом введения параметра.

$1){(x + 7)^2} - 3x \cdot (\left| {x + 7} \right| - 1) = 1$

ОДЗ: x∈R.

Так как

${a^2} = {\left| a \right|^2},$

перепишем уравнение в виде

${\left| {x + 7} \right|^2} - 3x \cdot \left| {x + 7} \right| + (3x - 1) = 0$

Введём параметр. Пусть

$\left| {x + 7} \right| = t,t \ge 0,$

тогда

${t^2} - 3x \cdot t + (3x - 1) = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной t. Здесь

$a = 1;b = - 3x;c = - (3x - 1)$

Находим дискриминант

$D = {b^2} - 4ac$

$D = {( - 3x)^2} - 4 \cdot 1 \cdot (3x - 1) =$

$= 9{x^2} - 12x + 4 = {(3x - 2)^2}$

${t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}$

${t_{1,2}} = \frac{{3x \pm \sqrt {{{(3x - 2)}^2}} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{3x \pm \left| {3x - 2} \right|}}{2}$

В данном случае раскрытие модуля с любым знаком приводит к одним и тем же корням

${t_1} = \frac{{3x + 3x - 2}}{2} = 3x - 1$

${t_2} = \frac{{3x - 3x + 2}}{2} = 1$

Обратная замена

$\left| {x + 7} \right| = 3x - 1;\left| {x + 7} \right| = 1$

При x< -7

$\left| {x + 7} \right| = - x - 7$

$- x - 7 = 3x - 1$

$x = - 1,5$

-1,5∉(-∞; -7).

2) При x≥ -7

$\left| {x + 7} \right| = x + 7$

$x + 7 = 3x - 1$

$x = 4$

4∈[-7; ∞).

$3)x + 7 = 1$

$x = - 6$

$4)x + 7 = - 1$

$x = - 8$

Ответ: -8; -6; 4.

$2){x^4} - (x + 2)(3{x^2} - 2x - 4) = 0$

ОДЗ: x∈R.

Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, придём к уравнению 4-й степени.

Рассмотрим другой подход.

${x^4} - (x + 2)(3{x^2} - 2(x + 2)) = 0$

Пусть x+2=t, тогда

${x^4} - t \cdot (3{x^2} - 2t) = 0$

${x^4} - 3t{x^2} + 2{t^2} = 0$

Это уравнение можно решать и как квадратное уравнение относительно переменной t, и как биквадратное относительно переменной x — результат получим один и тот же.

Решим его как квадратное относительно t (чтобы не вводить ещё одну переменную).

$2{t^2} - 3{x^2}t + {x^4} = 0$

$a = 2;b = - 3{x^2};c = {x^4}$

$D = {b^2} - 4ac$

$D = {( - 3{x^2})^2} - 4 \cdot 2 \cdot {x^4} = {x^4}$

${t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}$

${t_{1,2}} = \frac{{3{x^2} \pm \sqrt {{x^4}} }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{3{x^2} \pm {x^2}}}{4}$

${t_1} = {x^2};{t_2} = \frac{{{x^2}}}{2}$

Обратная замена

$x + 2 = {x^2};x + 2 = \frac{{{x^2}}}{2}$

$1){x^2} - x - 2 = 0$

${x_1} = 2;{x_2} = - 1$

$2){x^2} - 2x - 4 = 0$

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 2}}{2}} \right)^2} - 1 \cdot ( - 4) = 5$

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = 1 \pm \sqrt 5 .$

Ответ:

$2; - 1;1 \pm \sqrt 5 .$

Метод введения параметра используют в самых разных разделах алгебры. В частности, введением параметра могут быть решены некоторые тригонометрические, иррациональные, логарифмические и показательные уравнения.

Добавить комментарий Отменить ответ