Алгебра

Раздожение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители можно выполнить, используя следующую теорему.

Теорема

(О разложении квадратного трёхчлена на множители)

1) Если квадратное уравнение

$a{x^2} + bx + c = 0$

имеет два корня x1 и x2, квадратный трёхчлен ax²+bx+c можно разложить на множители по формуле

$a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})$

(далее…)

Метод введения параметра

Метод введения параметра позволяет нестандартное уравнение привести к уравнению привычного вида (например, к квадратному уравнению).

Рассмотрим конкретные примеры уравнений, которые можно решить методом введения параметра.

$1){(x + 7)^2} - 3x \cdot (\left| {x + 7} \right| - 1) = 1$

ОДЗ: x∈R.

(далее…)

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение — это уравнение вида

$a{x^4} + b{x^2} + c = 0,$

где a, b и c — числа, причём a≠0.

Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t. Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0.

По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.

Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

$1)4{x^4} - 5{x^2} + 1 = 0$

(далее…)

В уравнении сумма равна 0

Мы уже рассматривали уравнения, равные нулю (типа «произведение равно нулю»). К виду «произведение равно нулю» сводятся многие уравнения из разных разделов алгебры.

Если в уравнении сумма равна нулю, в некоторых случаях его можно решить, применяя следующее свойство функций:

Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю.

(далее…)

Решение уравнений методом оценки

Решение уравнений методом оценки основано на сравнении области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения.

Если в уравнении

$f(x) = g(x)$

выполняются условия

$\begin{array}{l} f(x) \ge a\\ g(x) \le a, \end{array}$

то равенство возможно тогда и только тогда, когда и f(x) и g(x) одновременно равны a:

$\left| \begin{array}{l} f(x) = g(x)\\ f(x) \ge a\\ g(x) \le a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = a\\ g(x) = a \end{array} \right.$

(далее…)