Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического:

    \[\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_n}}},\]

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

    \[{a_1} = {a_2} = ... = {a_n}.\]

Частный случай этого неравенства, связывающий среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, известен с древних времён. Чаще всего его доказывают, используя геометрическую интерпретацию.

(далее…)

ОДЗ уравнения — конечное число значений

Если ОДЗ уравнения состоит из конечного числа значений, достаточно подставить каждое значение в уравнение, чтобы проверить, является ли это значение корнем.

Примеры применения конечной ОДЗ к решению уравнений.  

    \[1)5x - \sqrt[6]{{3 + 5x - 2{x^2}}} + \sqrt {x - 3} = 15\]

(далее…)

Решение уравнений с помощью монотонности функций

Решение уравнений с помощью монотонности функций позволяет быстро и просто  найти корень уравнения (либо доказать, что уравнение корней не имеет).

Использование возрастания и убывания функций при решении уравнений опирается на следующие теоремы.

1) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то  уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)).

(далее…)

Решение дробно-рациональных уравнений

В прошлый раз мы рассмотрели решение дробно-рациональных уравнений приведением уравнений к виду «дробь равна нулю».

Решение дробно-рациональных уравнений с помощью введения вспомогательной переменной удобно в том случае, когда переменная входит в уравнение в выражениях одного вида.

Рассмотрим этот способ решения дробно-рациональных уравнений на конкретных примерах.

(далее…)