Решение линейных неравенств

Рассмотрим решение линейных неравенств на конкретных примерах.

$1)\frac{{2x + 3}}{6} - \frac{{3x - 1}}{4} \le - 1$

Как и в случае линейных уравнений, решение линейных неравенств с дробями удобно начинать с приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель здесь равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби. После умножения обеих частей неравенства на наименьший общий знаменатель знаменатели сокращаются и остается целое выражение

$\frac{{2x + {3^{\backslash 2}}}}{6} - \frac{{3x - {1^{\backslash 3}}}}{4} \le - {1^{\backslash 12}}\_\_\_\left| {\cdot12 > 0} \right.$

Как показывает практика, лучше не торопиться и записать произведение дополнительных множителей и числителей с помощью скобок:

$2(2x + 3) - 3(3x - 1) \le - 12$

только после этого раскрывать скобки

$4x + 6 - 9x + 3 \le - 12$

и приводить подобные слагаемые

$- 5x + 9 \le - 12$

Неизвестные — в левую часть, известные — в правую с противоположными знаками:

$- 5x \le - 12 - 9$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку — 5 — отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный:

$- 5x \le - 21\_\_\_\left| {:( - 5) < 0} \right.$

$x \ge \frac{{ - 21}}{{ - 5}}$

$x \ge 4,2$

Неравенство нестрогое, поэтому на числовой прямой 4,2 отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от 4,2 идёт вправо, на плюс бесконечность:

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, 4,2 записываем в ответ с квадратной скобкой:

Ответ:

$x \in [4,2;\infty ).$

$2)\frac{{5x - {3^{\backslash 5}}}}{4} - \frac{{2 - {x^{\backslash 2}}}}{{10}} > \frac{{3 - {x^{\backslash 4}}}}{5}\_\_\_\left| { \cdot 20 > 0} \right.$

Умножаем обе части на наименьший общий знаменатель 20. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется.

$5(5x - 3) - 2(2 - x) > 4(3 - x)$

Раскрываем скобки

$25x - 15 - 4 + 2x > 12 - 4x$

Приводим подобные слагаемые

$27x - 19 > 12 - 4x$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

$27x + 4x > 12 + 19$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 31 — положительное число, знак неравенства не изменяется.

$31x > 31\_\_\_\left| {:31 > 0} \right.$

$x > 1$

Поскольку неравенство строгое, 1 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. Штриховка от 1 уходит вправо, на плюс бесконечность.

Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 1 записываем с круглой скобкой.

Ответ:

$x \in (1;\infty ).$

$3)\frac{{7 - 4{x^{\backslash 3}}}}{6} + {x^{\backslash 18}} \le {10^{\backslash 18}} - \frac{{91 - 3{x^{\backslash 2}}}}{9}$

Умножаем обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 18. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

$3(7 - 4x) + 18x \le 180 - 2(91 - 3x)$

Раскрываем скобки

$21 - 12x + 18x \le 180 - 182 + 6x$

Приводим подобные слагаемые

$6x + 21 \le 6x - 2$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

$6x - 6x \le - 2 - 21$

$0x \le - 23$

Обратите внимание: хотя разность в левой части неравенства равна нулю, пишем 6x-6x=0x.

Получили частный случай линейного неравенства. Какое бы число мы не подставили вместо x, левая часть неравенства равна нулю. Неверно, что нуль меньше отрицательного числа -23. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: x ∈ Ø. (решений нет).

$4)\frac{{2x + {5^{\backslash 1}}}}{8} - \frac{{4 + {x^{\backslash 4}}}}{2} < \frac{{1 - {x^{\backslash 2}}}}{4}$