Наибольшее решение неравенства

При изучении темы «Линейные неравенства» встречаются задания, в которых требуется найти наибольшее решение неравенства либо наибольшее целое (или натуральное) решение неравенства.

Рассмотрим примеры выполнения таких заданий.

1) Найти наибольшее целое решение неравенства:

${(3 - 2x)^2} + (3 - 4x)(x + 5) \ge 82$

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства. Первые скобки раскрываем по формуле квадрата разности:

$9 - 12x + 4{x^2} + 3x + 15 - 4{x^2} - 20x \ge 82$

$24 - 29x \ge 82$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

$- 29x \ge 82 - 24$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом

$- 29x \ge 58\_\_\_\left| {:( - 29) < 0} \right.$

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

$x \le \frac{{58}}{{ - 29}}$

$x \le - 2$

Наибольшее решение неравенства — x= -2.

Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

Ответ: -2.

2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства:

$(x - 3)(x + 3) < 2{(x - 2)^2} - x(x + 1)$

Раскроем скобки. В левой части — произведение суммы и разности, в правой — квадрат разности:

${x^2} - {3^2} < 2({x^2} - 4x + 4) - {x^2} - x$

${x^2} - 9 < 2{x^2} - 8x + 8 - {x^2} - x$

${x^2} - 9 < {x^2} - 9x + 8$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

${x^2} - {x^2} + 9x < 8 + 9$

$9x < 17\_\_\_\left| {:9 > 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$x < \frac{{17}}{9}$

$x < 1\frac{8}{9}$

Наибольшее натуральное решение неравенства x=1.

Ответ: 1.

3) Найти наибольшее решение неравенства:

$\frac{{2x - 1}}{6} - \frac{{x + 8}}{2} + 1 \ge x - \frac{{x - 2}}{3}$

Обе части неравенства умножим на наименьший общий знаменатель:

$\frac{{2x - {1^{\backslash 1}}}}{6} - \frac{{x + {8^{\backslash 3}}}}{2} + {1^{\backslash 6}} \ge {x^{\backslash 6}} - \frac{{x - {2^{\backslash 2}}}}{3}\_\_\_\left| { \cdot 6 > 0} \right.$

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$(2x - 1) - 3(x + 8) + 6 \ge 6x - 2(x - 2)$

Как показывает практика, произведение дополнительного множителя и числителя лучше записывать с помощью скобок. Если перед дробью стоит знак «минус», числитель также лучше заключить в скобки. Такая запись позволяет избежать ошибок, связанных с раскрытием скобок.

$2x - 1 - 3x - 24 + 6 \ge 6x - 2x + 4$

$- x - 19 \ge 4x + 4$

$- x - 4x \ge 4 + 19$

$- 5x \ge 23\_\_\_\left| {:( - 5) < 0} \right.$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

$x \le \frac{{23}}{{ - 5}}$

$x \le - 4,6$

Наибольшее решение неравенства равно -4,6 (все остальные значения x меньше него).

Ответ: -4,6.

4) Определить наибольшее решение неравенства:

$x - 2 - \frac{{x + 3}}{4} \le \frac{{x - 1}}{2}$

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 6. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

${x^{\backslash 4}} - {2^{\backslash 4}} - \frac{{x + {3^{\backslash 1}}}}{4} < \frac{{x - {1^{\backslash 2}}}}{2}\_\_\_\left| { \cdot 4 > 0} \right.$