Первый, второй и третий насосы наполняют бассейн

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 48 минут, второй и третий – за 1 час 10 минут, а первый и третий – за 1 час 20 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Примем весь бассейн за 1.

Пусть, работая отдельно, первый насос может наполнить бассейн за x минут, второй — за y минут, третий — за z минут.

Время работы

Объём работы

Производительность труда

1 насос

x

1

1/x

2 насос

y

1

1/y

3 насос

z

1

1/z

Так как первый и второй насосы, работая вместе, наполняют бассейн за 48 минут, то за 1 минуту они наполняют за 1/48 бассейна. Отсюда имеем уравнение:

    \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{48}} \]

Так как второй и третий насосы вместе наполняют бассейн за 1 час 10 минут =70 минут, то за 1 минуту они наполняют 1/70 бассейна, и 

    \[ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{70}} \]

Первый и третий насосы вместе наполняют бассейн за 1 час 20 минут = 80 минут. Значит, за 1 минуту они наполняют 1/80 бассейна, и

    \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{80}} \]

Составим систему уравнений:

    \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{48}} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{70}} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{80}} \\ \end{array} \right. \]

Сложим почленно все три уравнения:

    \[ \frac{{\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{48}} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{70}} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{80}} \\ \end{array} \right.}}{{2\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{{48}} + \frac{1}{{70}} + \frac{1}{{80}}}} \]

    \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{35 + 24 + 21}}{{1680}}:2 \]

    \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{42}} \]

Значит, работая вместе, три насоса наполняют в минуту 1/42 бассейна.

Чтобы найти время, надо объём работы разделить на производительность труда:

    \[ 1:\frac{1}{{42}} = 42 \]

Таким образом, при совместной работе трёх насосов бассейн будет заполнен за 42 минуты.

Ответ: 42 минуты.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *