Определение
Функция Дирихле — это зависимость, при которой каждому рациональному числу ставится в соответствие единица, каждому иррациональному — нуль:
![\[ y = D(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1,x \in Q, \\ 0,x \notin Q. \\ \end{array} \right. \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c3cfccfa3c49df04ab03effdb3e4e01_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Свойства функции Дирихле
1) Область определения — множество действительных чисел:
D(y): x∈(-∞;+∞).
2) Область значений состоит из двух чисел — нуля и единицы:
E(y): y∈{0;1}.
3) Для любого рационального числа k, отличного от нуля, D(x+k)=D(x).
- Если x — рациональное число (x∈Q), D(x)=1.
Так как сумма рациональных чисел является рациональным числом, то и (x+k)∈Q.
Значит D(x+k)=1. Отсюда D(x+k)=D(x).
- Если x — иррациональное число (x∉Q), D(x)=0.
Поскольку сумма рационального и иррационального чисел — число иррациональное, то (x+k)∉Q.
В этом случае D(x+k)=0. Поэтому D(x+k)=D(x).
Из этого свойства следует, что функция Дирихле — периодическая и любое рациональное число (кроме нуля) является её периодом.
График функции Дирихле изобразить не получится.
Другие свойства функции Дирихле изучаются в курсе высшей математики.
Изучение функции Дирихле не входит в обязательную программу алгебры средней школы, однако имеет смысл рассмотреть её в качестве примера функции, не имеющей главного (наименьшего положительного) периода.