Наименьшее решение неравенства

Задания, в которых требуется найти наименьшее решение неравенства, а также наименьшее целое или наименьшее натуральное решение неравенства, в курсе алгебры впервые встречаются при изучении темы «Линейные неравенства». Рассмотрим на примерах решение такого рода задач.

1) Найти наименьшее решение неравенства

$\frac{{4x + 1}}{6} - \frac{{x - 9}}{4} \ge 1$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, равный 12:

$\frac{{4x + {1^{\backslash 2}}}}{6} - \frac{{x - {9^{\backslash 3}}}}{4} \ge {1^{\backslash 12}}\_\_\_\left| {\cdot12 > 0} \right.$

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$2(4x + 1) - 3(x - 9) \ge 12$

Раскрываем скобки:

$8x + 2 - 3x + 27 \ge 12$

Упрощаем:

$5x + 29 \ge 12$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$5x \ge 12 - 29$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

$5x \ge - 17\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.$

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$x \ge \frac{{ - 17}}{5}$

$x \ge - 3,4$

Наименьшее значение неравенства равно -3,4 (неравенство нестрогое, поэтому -3,4 входит в множество решений). Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

Ответ: -3,4.

2) Назвать наименьшее решение неравенства:

${(3x + 2)^2} - (9x - 1)(x + 1) > 17$

Первые скобки раскроем по формуле квадрата суммы. Перед произведением двух скобок стоит знак «минус», поэтому, чтобы не допустить ошибки в знаках, лучше сначала выполнить умножение, а уже потом раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:

$9{x^2} + 12x + 4 - (9{x^2} + 9x - x - 1) > 17$

$9{x^2} + 12x + 4 - 9{x^2} - 9x + x + 1 > 17$

$4x + 5 > 17$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$4x > 17 - 5$

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом

$4x > 12\_\_\_\left| {:4 > 0} \right.$

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$x > 3$

Решением данного неравенства является любое число, большее 3:

Но наименьшего решения неравенство не имеет — 3 не входит в решение, так как неравенство строгое, а любое другое число, большее 3, наименьшим решением не является.

Ответ: неравенство наименьшего решения не имеет.

3) Найти наименьшее целое решение неравенства:

$\frac{{x - 2}}{5} - \frac{2}{3} \ge \frac{{3x + 2}}{6} - x$

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 30:

$\frac{{x - {2^{\backslash 6}}}}{5} - \frac{{{2^{\backslash 10}}}}{3} \ge \frac{{3x + {2^{\backslash 5}}}}{6} - {x^{\backslash 30}}\_\_\_\left| { \cdot 30 > 0} \right.$