Рассмотрим следующий вид задач из ОГЭ и ЕГЭ по математике — задачи, в которых требуется найти среднюю скорость (автомобиля, путешественника и т.д.).
Задача 1
Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 195 км — со скоростью 65 км/ч, после чего 225 км — со скоростью 75 км/ч. Определите среднюю скорость движения автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Чтобы найти среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути, надо весь пройденный автомобилем путь разделить на всё затраченное на этот путь время.
![\[ v_{cp} = \frac{{140 + 195 + 225}}{{\frac{{140}}{{70}} + \frac{{195}}{{65}} + \frac{{225}}{{75}}}} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78b8b7e7bc0c64b1d62b525384c55d4e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{560}}{{2 + 3 + 3}} = \frac{{560}}{8} = 70 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc472771f60784dca38c10a4b38ccd46_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Таким образом, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 70 км/ч.
Ответ: 70 км/ч.
Задача 2
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 100 км/ч, вторую — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем половину пути за s км, тогда весь путь равен 2s км.
![\[ v_{cp} = \frac{{s + s}}{{\frac{{s^{\backslash 3} }}{{100}} + \frac{{s^{\backslash 5} }}{{60}}}} = \frac{{2s}}{{\frac{{8s}}{{300}}}} = \frac{{2 \cdot 300}}{8} = 75 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc31902b1edce66f15e021d89592a04f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Значит, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 75 км/ч.
Ответ: 75 км/ч.
Задача 3
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 75 км/ч, вторую треть — со скоростью 60 км/ч, а последнюю — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем одну треть трассы за s км, тогда длина всей трассы равна 3s км.
![\[ v_{cp} = \frac{{s + s + s}}{{\frac{{s^{\backslash 4} }}{{75}} + \frac{{s^{\backslash 5} }}{{60}} + \frac{{s^{\backslash 6} }}{{50}}}} = \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17497f006e37f47700a5b951c78917b6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{{3s}}{{\frac{{15s}}{{300}}}} = \frac{{3 \cdot 300}}{{15}} = 60 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ee8af9d63d5def8e4e3e83adb7f27ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Итак, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.
Задача 4
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 46 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Примем половину времени, затраченного автомобилем на дорогу, за t ч. Тогда на всю дорогу автомобиль затратил 2t ч.
![\[ v_{cp} = \frac{{60t + 46t}}{{t + t}} = \frac{{106t}}{{2t}} = 53 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32a19c7b0b64e6f56b0f9e7b0828acbc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 53 км/ч.
Ответ: 53 км/ч.
Задача 5
Путешественник переплыл океан на яхте со средней скоростью 26 км/ч. Обратно он летел на самолёте со скоростью 312 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути.
Решение:
Примем путь путешественника в одну сторону за s км. Тогда путь туда и обратно составляет 2s км.
![\[ v_{cp} = \frac{{s + s}}{{\frac{{s^{\backslash 12} }}{{26}} + \frac{s}{{312}}}} = \frac{{2s}}{{\frac{{13s}}{{312}}}} = \frac{{2 \cdot 312}}{{13}} = 48 \]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ec29bc35747489ee29944a5b77e30e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следовательно, средняя скорость путешественника на протяжении всего пути равна 48 км/ч.
Ответ: 48 км/ч.