Функция Дирихле

Определение

Функция Дирихле — это зависимость, при которой каждому рациональному числу ставится в соответствие единица, каждому иррациональному — нуль:

    \[ y = D(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1,x \in Q, \\ 0,x \notin Q. \\ \end{array} \right. \]

Свойства функции Дирихле

1) Область определения — множество действительных чисел:

D(y): x∈(-∞;+∞).

2) Область значений состоит из двух чисел — нуля и единицы:

E(y): y∈{0;1}.

3) Для любого рационального числа k, отличного от нуля, D(x+k)=D(x).

  • Если x — рациональное число (x∈Q), D(x)=1.

Так как сумма рациональных чисел является рациональным числом, то и (x+k)∈Q.

Значит D(x+k)=1. Отсюда D(x+k)=D(x).

  • Если x — иррациональное число (x∉Q), D(x)=0.

Поскольку сумма рационального и иррационального чисел — число иррациональное, то  (x+k)∉Q.

В этом случае D(x+k)=0. Поэтому D(x+k)=D(x).

Из этого свойства следует, что функция Дирихле — периодическая и любое рациональное число (кроме нуля) является её периодом.

График функции Дирихле изобразить не получится.

Другие свойства функции Дирихле изучаются в курсе высшей математики.

Изучение функции Дирихле не входит в обязательную программу алгебры средней школы, однако имеет смысл рассмотреть её в качестве примера функции, не имеющей главного (наименьшего положительного) периода.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *