Деление алгебраических дробей

Чтобы выполнить деление алгебраических (рациональных) дробей, надо

первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

(Первую дробь умножаем на «перевернутую» вторую).

С помощью схемы деление алгебраических дробей можно изобразить так:

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{{A \cdot D}}{{B \cdot C}}$

Рассмотрим примеры деления алгебраических дробей.

$1)\frac{{12{m^3}}}{{49k}}:\frac{{18{m^2}}}{{35{k^4}}} =$

Чтобы разделить данные алгебраические дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй:

$= \frac{{12{m^3}}}{{49k}} \cdot \frac{{35{k^4}}}{{18{m^2}}} = \frac{{\mathop {\overline {12} }\limits^2 \mathop {\overline {{m^3}} }\limits^m \cdot \mathop {\overline {35} }\limits^5 \mathop {\overline {{k^4}} }\limits^{{k^3}} }}{{\mathop {\underline {49} }\limits_7 \mathop {\underline k }\limits_1 \cdot \mathop {\underline {18} }\limits_3 \mathop {\underline {{m^2}} }\limits_1 }} = \frac{{10m{k^3}}}{{21}};$

12 и 18 сокращаем на 6, 35 и 49 — на 7, m³ и m² — на m², k⁴ и k — на k.

$2)\frac{{{c^2} + 4c}}{{{c^2} - 4}}:\frac{{5c + 20}}{{c - 2}} =$

Деление алгебраических дробей заменяем умножением первой дроби на дробь, обратную второй:

$= \frac{{{c^2} + 4c}}{{{c^2} - 4}} \cdot \frac{{c - 2}}{{5c + 20}} =$

Входящие в состав дробей многочлены раскладываем на множители. У первой дроби в числителе выносим за скобки общий множитель c, знаменатель расписываем по формуле разности квадратов. У второй дроби в знаменателе выносим за скобки общий множитель 5:

$= \frac{{c(c + 4) \cdot (c - 2)}}{{(c - 2)(c + 2) \cdot 5(c + 4)}} =$

Сокращаем дробь на (c-2) и (c+4):

$= \frac{c}{{5(c + 2)}} = \frac{c}{{5c + 10}};$

$3)\frac{{2a + 10}}{{3a}}:(2{a^2} + 20a + 50) =$

Первую дробь умножаем на дробь, обратную ко второй:

$= \frac{{2a + 10}}{{3a}} \cdot \frac{1}{{2{a^2} + 20a + 50}} =$

В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 2, в знаменателе — аналогично:

$= \frac{{2(a + 5)}}{{3a \cdot 2({a^2} + 10a + 25)}} =$

В знаменателе в скобках — полный квадрат суммы:

$= \frac{{2(a + 5)}}{{3a \cdot 2{{(a + 5)}^2}}} = \frac{1}{{3a(a + 5)}} = \frac{1}{{3{a^2} + 15a}};$

Сокращаем дробь на 2 и (a+5).

$4)\frac{{x{y^2} - 9x}}{{{y^3} - 8}}:\frac{{y + 3}}{{2{y^2} + 4y + 8}} =$

Деление алгебраических дробей заменяем умножением первой дроби на дробь, обратную ко второй:

$= \frac{{x{y^2} - 9x}}{{{y^3} - 8}} \cdot \frac{{2{y^2} + 4y + 8}}{{y + 3}} =$

В числителе из первых скобок выносим общий множитель x, из вторых — 2. В знаменателе выражение, стоящее в первых скобках, раскладываем по формуле разности кубов:

$= \frac{{x({y^2} - 9) \cdot 2({y^2} + 2y + 4)}}{{(y - 2)({y^2} + 2y + 4)(y + 3)}} =$

Сокращаем дробь на (y²+2y+4). Выражение y²-9 раскладываем на множители по формуле разности квадратов, после чего сокращаем дробь на (y+3):

$= \frac{{2x(y - 3)(y + 3)}}{{(y - 2)(y + 3)}} = \frac{{2x(y - 3)}}{{y - 2}} = \frac{{2xy - 6x}}{{y - 2}};$

Правило деления алгебраических дробей можно использовать и при деление многочленов (впрочем, можно сразу заменить знак деления дробной чертой).

$5)({x^2} - 100):({x^2} - 20x + 100) =$

$= ({x^2} - 100) \cdot \frac{1}{{{x^2} - 20x + 100}} =$

$= \frac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} - 20x + 100}} = \frac{{(x - 10)(x + 10)}}{{{{(x - 10)}^2}}} =$

$= \frac{{x + 10}}{{x - 10}}.$

Добавить комментарий Отменить ответ