Преобразование рациональных выражений

Преобразование рациональных выражений можно выполнять по действиям и по цепочке.

В начале изучения темы предпочтительнее выбрать поэтапное упрощение, то есть по действиям.

Исключение — примеры, содержащие только сложение и вычитание алгебраических дробей либо только их умножение и деление (с ними лучше работать одновременно).

Рассмотрим несколько примеров преобразования рациональных выражений.

$a)(\frac{x}{{{x^2} - 8x + 16}} - \frac{{x + 6}}{{{x^2} - 16}}):\frac{{x + 12}}{{{x^2} - 16}}$

Преобразование этого выражения можно выполнить в два этапа. Первое действие — в скобках, второе — деление.

$1)\frac{x}{{{x^2} - 8x + 16}} - \frac{{x + 6}}{{{x^2} - 16}} =$

Чтобы выполнить вычитание алгебраических дробей, разложим многочлены в знаменателях на множители. Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, и равен (x-4)²(x+4).

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый:

$= \frac{{{x^{\backslash (x + 4)}}}}{{{{(x - 4)}^2}}} - \frac{{x + {6^{\backslash (x - 4)}}}}{{(x - 4)(x + 4)}} =$

$= \frac{{x(x + 4) - (x + 6)(x - 4)}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4)}} =$

Чаще всего ошибки в ходе преобразования рациональных выражений возникают при умножении числителя на дополнительный множитель. Чтобы не ошибиться, лучше сначала записать множители в скобках (скобки — друзья ученика 🙂 ):

$= \frac{{x(x + 4) - (x + 6)(x - 4)}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4)}} =$

Если перед произведением многочленов стоит знак «минус», удобнее сначала в скобках перемножить многочлены, а уже затем раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:

$= \frac{{{x^2} + 4x - ({x^2} - 4x + 6x - 24)}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4)}} =$

$= \frac{{{x^2} + 4x - {x^2} + 4x - 6x + 24}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4)}} =$

$= \frac{{2x + 24}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4)}} = \frac{{2(x + 12)}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4)}}$

Второе действие — деление алгебраических дробей:

$2)\frac{{2(x + 12)}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4)}}:\frac{{x + 12}}{{{x^2} - 16}} =$

$= \frac{{2(x + 12)}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4)}} \cdot \frac{{{x^2} - 16}}{{x + 12}} =$

$= \frac{{2(x + 12) \cdot (x - 4)(x + 4)}}{{{{(x - 4)}^2}(x + 4) \cdot (x + 12)}} =$

Сокращаем дробь на (x+4), (x-4), (x+12):

$= \frac{2}{{x - 4}}$

Ответ:

$\frac{2}{{x - 4}}.$

$b)\frac{{a - 12}}{{{a^2} + 4a}} - \frac{{a - 4}}{a} + \frac{a}{{a + 4}} =$

Этот пример содержит только сумму и разность рациональных дробей, складывать и вычитать удобнее одновременно.

В знаменателе первой дроби вынесем за скобки общий множитель a. Наименьший общий знаменатель равен a(a+4). Ищем дополнительный множитель к каждой дроби и упрощаем:

$= \frac{{a - {{12}^{\backslash 1}}}}{{a(a + 4)}} - \frac{{a - {4^{\backslash (a + 4)}}}}{a} + \frac{{{a^{\backslash a}}}}{{a + 4}} =$

$= \frac{{a - 12 - (a - 4)(a + 4) + {a^2}}}{{a(a + 4)}} =$

$= \frac{{a - 12 - ({a^2} - 16) + {a^2}}}{{a(a + 4)}} =$

$= \frac{{a - 12 - {a^2} + 16 + {a^2}}}{{a(a + 4)}} = \frac{{a + 4}}{{a(a + 4)}} = \frac{1}{a}$

Ответ:

$\frac{1}{a}$

$c)(\frac{{a - b}}{{{a^2} + ab}} - \frac{a}{{ab + {b^2}}}):(\frac{{{b^2}}}{{{a^3} - a{b^2}}} + \frac{1}{{a + b}})$

Это выражение удобно преобразовывать поэтапно. Первое и второе действия — в скобках, третье — деление.

$1)\frac{{a - b}}{{{a^2} + ab}} - \frac{a}{{ab + {b^2}}} =$

$= \frac{{a - {b^{\backslash b}}}}{{a(a + b)}} - \frac{{{a^{\backslash a}}}}{{b(a + b)}} =$

$= \frac{{b(a - b) - {a^2}}}{{ab(a + b)}} = \frac{{ab - {b^2} - {a^2}}}{{ab(a + b)}},$

$2)\frac{{{b^2}}}{{{a^3} - a{b^2}}} + \frac{1}{{a + b}} = \frac{{{b^2}}}{{a({a^2} - {b^2})}} + \frac{1}{{a + b}} =$

$= \frac{{{b^{{2^{\backslash 1}}}}}}{{a(a - b)(a + b)}} + \frac{{{1^{\backslash a(a - b)}}}}{{a + b}} =$

$= \frac{{{b^2} + a(a - b)}}{{a(a - b)(a + b)}} = \frac{{{b^2} + {a^2} - ab}}{{a(a - b)(a + b)}},$

$3)\frac{{ab - {b^2} - {a^2}}}{{ab(a + b)}}:\frac{{{b^2} + {a^2} - ab}}{{a(a - b)(a + b)}} =$

От деления алгебраических дробей переходим к их умножению:

$= \frac{{ab - {b^2} - {a^2}}}{{ab(a + b)}} \cdot \frac{{a(a - b)(a + b)}}{{{b^2} + {a^2} - ab}} =$

$= \frac{{ - ({b^2} + {a^2} - ab) \cdot a(a - b)(a + b)}}{{ab(a + b) \cdot ({b^2} + {a^2} - ab)}} =$

$= \frac{{ - (a - b)}}{b} = \frac{{b - a}}{b}.$

$= \frac{{ - (a - b)}}{b} = \frac{{b - a}}{b}$

Ответ:

$\frac{{b - a}}{b}.$

Добавить комментарий Отменить ответ