Если смешать два раствора кислоты

Если смешать два раствора кислоты и добавить воду или третий раствор кислоты — ещё один вид задач из ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Задача

Если смешать 29-процентный раствор кислоты и 33-процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 19-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора этой же кислоты, то получили бы 39-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 29-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть x кг 29-процентного раствора и y кг 33-процентного раствора использовали для приготовления смеси.

В x кг 29%-го раствора содержится 0,29x кг кислоты.

В y кг 33%-го раствора содержится 0,33y кг кислоты.

Новый раствор получили, смешав два раствора кислоты по x кг и y кг и 10 кг воды. Поэтому масса нового раствора равна (x+y+10) кг.

В (x+y+10) кг 19%-го раствора содержится 0,19(x+y+10) кг кислоты.

Эти рассуждения удобно оформить в виде таблицы:

Новый раствор содержит 0,29x кг кислоты из первого раствора и 0,33y кг из второго. Значит, третий раствор содержит (0,29x+0,33y) кг кислоты.

Отсюда получаем первое уравнение: 0,29x+0,33y=0,19(x+y+10).

Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентной той же кислоты, то получили бы 39-процентный раствор кислоты:

Новый раствор содержит 0,29x кг кислоты из первого раствора, 0,33y кг из второго и 5 кг из третьего. Значит, четвёртый раствор содержит (0,29x+0,33y+5) кг кислоты.

Отсюда получаем второе уравнение: 0,29x+0,33y+5=0,39(x+y+10).

Составим систему уравнений и решим её.

Умножим первое уравнение системы на (-1) и сложим со вторым:

x+y+10=25

y=15-x.

Подставляем два этих выражения в первое уравнение системы:

0,29x+0,33(15-x)=0,19·25  ¦·100

Для упрощения вычислений умножим обе части получившегося уравнения на 100.

29x+33(15-x)=19·25

29x+495-33x=475

-4x=-20

x=5

Ответ: 5 кг.