Квадрат суммы трех слагаемых

Квадрат суммы трех слагаемых можно находить каждый раз последовательным преобразованием. Проще один раз вывести формулу и в дальнейшем её использовать, тем более, что эта формула не столь сложна для запоминания.

Квадрат суммы трех слагаемых равен сумме квадратов каждого из них плюс их попарные удвоенные произведения.

Доказательство:

    \[{(a + b + c)^2} = {((a + b) + c)^2} = \]

Рассмотрим сумму трёх слагаемых как сумму суммы первых двух слагаемых и третьего и дважды применим формулу квадрата суммы двучлена: 

    \[ = {(a + b)^2} + 2 \cdot (a + b) \cdot c + {c^2} = \]

    \[ = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2} = \]

    \[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc.\]

Таким образом, формула квадрата суммы трех слагаемых

    \[{(a + b + c)^2} = \]

    \[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\]

Например,

    \[{(2x + 5y + 10z)^2} = \]

    \[ = {(2x)^2} + {(5y)^2} + {(10z)^2} + \]

    \[ + 2 \cdot 2x \cdot 5y + 2 \cdot 2x \cdot 10z + 2 \cdot 5y \cdot 10z = \]

    \[ = 4{x^2} + 25{y^2} + 100{z^2} + \]

    \[ + 20xy + 40xz + 100yz.\]

Формулу квадрата суммы трёх слагаемых можно применить и для отрицательных слагаемых.

Например,

    \[{(3m - 2n - 7k)^2} = \]

    \[ = {((3m) + ( - 2n) + ( - 7k))^2} = \]

    \[ = {(3m)^2} + {( - 2n)^2} + {( - 7k)^2} + \]

    \[ + 2 \cdot 3m \cdot ( - 2n) + 2 \cdot 3m \cdot ( - 7k) + \]

    \[ + 2 \cdot ( - 2n) \cdot ( - 7k) = \]

    \[ = 9{m^2} + 4{n^2} + 49{k^2} - \]

    \[ - 12mn - 42mk + 28nk.\]

 

       

1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *