Уравнения, сводящиеся к квадратным

Уравнения, сводящиеся к квадратным, в алгебре встречаются практически в каждой теме. Один вид уравнений, приводимых к квадратным — биквадратные уравнения — мы уже рассмотрели.

При решение уравнений, сводящихся к квадратным, чаще всего применяют один и тот же приём — введение новой переменной. Отличаются лишь выражения, которые заменяют на новую переменную.

Рассмотрим, как решать уравнения, приводимые к квадратным, на конкретных примерах.

$1){({x^2} + 2x)^2} - 7({x^2} + 2x) - 8 = 0$

ОДЗ: x∈R.

Подстановка

${x^2} + 2x = t$

приводит исходное уравнение к квадратному относительно переменной t:

${t^2} - 7t - 8 = 0$

По теореме, обратной теореме Виета

$\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = 7\\ {t_1} \cdot {t_2} = - 8 \end{array} \right. \Rightarrow {t_1} = - 1;{t_2} = 8$

Обратная замена:

${x^2} + 2x = - 1;{x^2} + 2x = 8$

$1){x^2} + 2x + 1 = 0$

${(x + 1)^2} = 0$

$x = - 1$

$2){x^2} + 2x - 8 = 0$

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 2\\ {x_1} \cdot {x_2} = - 8 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = - 4;{x_2} = 2$

Ответ: -4; -1; 2.

$2){x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$

ОДЗ: x≠0, то есть x∈ (-∞; 0)U(0; ∞).

Уравнения, содержащие слагаемые с взаимно-обратными выражениями вида

$x + \frac{1}{x}$

${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$

решаются с помощью замены

$x + \frac{1}{x} = t,$

причём t≠0, так как x≠0.

Выразим сумму их квадратов через t.

Чтобы привести выражение к квадрату суммы x и 1/x, прибавим и вычтем удвоенное произведение их суммы:

${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} =$

$= ({x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}) - 2 =$

$= {(x + \frac{1}{x})^2} - 2 = {t^2} - 2.$

В итоге приходим к квадратному уравнению

${t^2} - 2 - 4t + 5 = 0$

${t^2} - 4t + 3 = 0$

$\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = 4\\ {t_1} \cdot {t_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = 3$

Возвращаемся к исходной переменной:

$x + \frac{1}{x} = 1;x + \frac{1}{x} = 3$

$1)x + \frac{1}{x} - 1 = 0\_\_\_\left| { \cdot x \ne 0} \right.$

${x^2} - x + 1 = 0$

$D = {b^2} - 4ac$

$D = {( - 1)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = - 3 < 0$

Уравнение не имеет действительных корней.

$2)x + \frac{1}{x} - 3 = 0\_\_\_\left| { \cdot x \ne 0} \right.$

${x^2} - 3x + 1 = 0$

$D = {( - 3)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2 \cdot a}} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Ответ:

$\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}.$

Вывод: если

$x + \frac{1}{x} = t,mo$

${\rm{ }}{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2.$

Если

$x - \frac{1}{x} = t,mo$

${\rm{ }}{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} + 2.$

Аналогично решаем уравнения с суммой чисел, отличающихся от взаимно-обратных на числовой множитель.

$3)\frac{9}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{4} - 3 \cdot (\frac{3}{x} - \frac{x}{2}) - \frac{7}{4} = 0$

ОДЗ: x≠0, т.е. x∈ (-∞; 0)U(0; ∞).

Замена переменной:

$\frac{3}{x} - \frac{x}{2} = t,t \ne 0,$

следовательно,выделяем квадрат разности этого выражения

$\frac{9}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{4} = \frac{9}{{{x^2}}} - 2 \cdot \frac{3}{x} \cdot \frac{x}{2} + \frac{{{x^2}}}{4} + 2 \cdot \frac{3}{x} \cdot \frac{x}{2} =$