Координаты вершины параболы

Как найти координаты вершины параболы? Для этого достаточно запомнить всего одну короткую формулу (она же — корень квадратного уравнения для случая, если дискриминант равен нулю).

I. Абсциссу координаты вершины параболы — графика квадратичной функции y=ax²+bx+c, где a, b, c — числа, причем a≠0, находят по формуле

${x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}}.$

Для нахождения ординаты достаточно подставить в формулу функции xₒ вместо каждого x:

${y_o} = a{x_o}^2 + b{x_0} + c.$

Можно также найти ординату вершины параболы, воспользовавшись формулой

${y_o} = - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}},$

(минус дискриминант, деленный на 4a).

Примеры.

Найти координаты вершины параболы:

1) y=x²-7x+3;

2) y= -x²+8x+2;

3) y= -3x²-12x-4;

4) y= 0,2x²+x+5.

Решение:

$1){x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 7)}}{{2 \cdot 1}} = 3,5;$

${y_o} = {3,5^2} - 7 \cdot 3,5 + 3 = -9,25$

Вершина параболы y=x²-7x+3 — точка (3,5; -9,25).

$2){x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 8}}{{2 \cdot ( - 1)}} = 4;$

${y_o} = - {4^2} + 8 \cdot 4 + 2 = - 16 + 32 + 2 = 18$

Вершиной параболы y= -x²+8x+2является точка (4; 18).

$3){x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 12)}}{{2 \cdot ( - 3)}} = - 2;$

${y_o} = - 3 \cdot {( - 2)^2} - 12 \cdot ( - 2) - 4 =$

$= - 12 + 24 - 4 = 8$

(-2; 8) — вершина параболы y= -3x²-12x-4.

$4){x_o} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 1}}{{2 \cdot 0,2}} = - 2,5;$

${y_o} = 0,2 \cdot {( - 2,5)^2} + ( - 2,5) + 5 =$

$= 1,25 - 2,5 + 5 = 3,75$

Следовательно, (-2,5; 3,75) — вершина параболы y=0,2x²+x+5.

II. Абсциссу вершины параболы можно также найти как среднее арифметическое между нулями функции (в том случае, если функция имеет нули):

${x_0} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}$

Этим способом удобно находить вершину параболы, когда квадратичная функция задана в виде y=a(x-x1)(x-x2).

Пример.

Найдём координаты вершины параболы y=5(x-1)(x+7). Ищем нули функции:

5(x-1)(x+7)=0. Это уравнение типа произведение равно нулю.

x-1=0 или x+7=0

x=1; x=-7.

${x_0} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3;$

${y_o} = 5 \cdot ( - 3 - 1)( - 3 + 7) = - 80$

Точка (-3; -80) — вершина параболы y=5(x-1)(x+7).

III. Если функция задана в виде

$y = a{(x - {x_o})^2} + {y_o},$

то её вершина — точка (xₒ; yₒ). Например, вершиной параболы

$y = \frac{2}{9}{(x + 3)^2} - 1$

является точка (-3; -1).

4 комментария

Надежда:

18.09.2017 в 17:14

При исследовании квадратичной функции, графиком которой является парабола, в одном из пунктов необходимо найти координаты вершины параболы. Как это сделать аналитически, используя заданное для параболы уравнение?

Ответить
- admin:
  
  18.09.2017 в 20:35
  
  Надежда, в статье выше как раз описывается, как найти координаты вершины параболы. Абсциссу находят по формуле x0=-b/2a. Чтобы найти ординату, достаточно в формулу функции вместо каждого x подставить найденное значение x0 и вычислить.
  
  Ответить
ирина:

02.12.2020 в 00:42

скажите почему в первом примере 3,5 не введен в квадрат.

Ответить
- admin:
  
  09.12.2020 в 00:11
  
  Ирина, 3,5²-7∙3,5+3=12,25-24,5+3=-12,25+3=-9,25
  
  Ответить

4 комментария

Добавить комментарий Отменить ответ