Дробно-рациональные уравнения

Дробн0-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения) — это уравнения c одной переменной вида

    \[f(x) = g(x),\]

где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь (то есть в таких уравнениях в знаменателе есть переменная).

В общем виде дробно-рациональные уравнения решают  по следующей схеме:

1) Все слагаемые переносим в одну сторону.

2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).

3) После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю«.

В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

Решить дробно-рациональные уравнения:

    \[1)\frac{4}{{x - 2}} - \frac{3}{{x + 4}} = 1\]

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

    \[\frac{{{4^{\backslash (x + 4)}}}}{{x - 2}} - \frac{{{3^{\backslash (x - 2)}}}}{{x + 4}} - {1^{\backslash (x - 2)(x + 4)}} = 0\]

    \[\frac{{4(x + 4) - 3(x - 2) - (x - 2)(x + 4)}}{{(x - 2)(x + 4)}} = 0\]

    \[\frac{{4x + 16 - 3x + 6 - ({x^2} + 4x - 2x - 8)}}{{(x - 2)(x + 4)}} = 0\]

    \[\frac{{x + 22 - {x^2} - 4x + 2x + 8}}{{(x - 2)(x + 4)}} = 0\]

Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

    \[\frac{{ - {x^2} - x + 30}}{{(x - 2)(x + 4)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - x + 30 = 0\\ (x - 2)(x + 4) \ne 0 \end{array} \right.\]

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

    \[(x - 2)(x + 4) \ne 0\]

    \[x - 2 \ne 0;x + 4 \ne 0\]

    \[x \ne 2;x \ne - 4\]

Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

    \[ - {x^2} - x + 30 = 0\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right.\]

    \[{x^2} + x - 30 = 0\]

Это — квадратное уравнение. Его корни

    \[{x_1} = 5;{x_2} = - 6\]

Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4.Ответ: 5; -6.

    \[2)\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{3}{x}\]

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

    \[\frac{{x + {2^{\backslash 1}}}}{{x(x - 2)}} - \frac{{{x^{\backslash x}}}}{{x - 2}} - \frac{{{3^{\backslash (x - 2)}}}}{x} = 0\]

    \[\frac{{x + 2 - {x^2} - 3(x - 2)}}{{x(x - 2)}} = 0\]

    \[\frac{{x + 2 - {x^2} - 3x + 6}}{{x(x - 2)}} = 0\]

    \[\frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{x(x - 2)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - 2x + 8 = 0\\ x(x - 2) \ne 0 \end{array} \right.\]

    \[x(x - 2) \ne 0\]

    \[x \ne 0;x \ne 2\]

— при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

    \[ - {x^2} - 2x + 8 = 0\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right.\]

Из двух корней квадратного уравнения

    \[{x^2} + 2x - 8 = 0\]

    \[{x_1} = - 4;{x_2} = 2\]

— второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

Ответ: -4.

    \[3)\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x - 3}} = x + 2\]

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

    \[\frac{{{x^2} - x - {6^{\backslash 1}}}}{{x - 3}} - {x^{\backslash (x - 3)}} - {2^{\backslash (x - 3)}} = 0\]

    \[\frac{{{x^2} - x - 6 - x(x - 3) - 2(x - 3)}}{{x - 3}} = 0\]

    \[\frac{{{x^2} - x - 6 - {x^2} + 3x - 2x +6}}{{x - 3}} = 0\]

    \[\frac{{0x}}{{x - 3}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0x = 0\\ x - 3 \ne 0 \end{array} \right.\]

Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ:

    \[x \ne 3\]

Уравнение

    \[0x = 0\]

— частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, который не входит в множество решений данного уравнения — 3.

Ответ: x — любое число, кроме 3.

    \[4)\frac{5}{{x - 2}} - \frac{3}{{x + 2}} = \frac{{20}}{{{x^2} - 4}}\]

Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

    \[\frac{{{5^{\backslash (x + 2)}}}}{{x - 2}} - \frac{{{3^{\backslash (x - 2)}}}}{{x + 2}} - \frac{{{{20}^{\backslash 1}}}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 0\]

    \[\frac{{5(x + 2) - 3(x - 2) - 20}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 0\]

    \[\frac{{5x + 10 - 3x + 6 - 20}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 0\]

    \[\frac{{2x - 4}}{{(x - 2)(x + 2)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4 = 0\\ (x - 2)(x + 2) \ne 0 \end{array} \right.\]

    \[(x - 2)(x + 2) \ne 0\]

    \[x \ne 2;x \ne - 2\]

— при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

    \[2x - 4 = 0\]

    \[x = 2\]

Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

       

11 комментариев

  • Илья:
    05.06.2016 в 13:37

    Можно ли не переносить все слагаемые в левую часть уравнения, а сразу привести к общему знаменателю и решить полученное целое уравнение?

    Ответить
    • admin:
      05.06.2016 в 17:57

      Можно. Только при этом нужно начать с ОДЗ, то есть знаменатель должен быть отличен от нуля.
      Это одно и то же решение, просто разные способы оформления.

      Ответить
  • Артем:
    06.01.2017 в 09:53

    Скажите, пожалуйста, как решить это дробно-рациональное уравнение с параметром: x-1/x-a=0

    Ответить
    • admin:
      06.01.2017 в 20:07

      Приводим левую часть к общему знаменателю

          \[\frac{{{x^2} - ax - 1}}{x} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - ax - 1 = 0;\\ x \ne 0 \end{array} \right.\]

      Квадратное уравнение

          \[{x^2} - ax - 1 = 0\]

      при любом значении a имеет два различных корня, так как дискриминант

          \[D = {a^2} + 4 > 0\]

      Оба корня

          \[{x_{1,2}} = \frac{{a \pm \sqrt {{a^2} + 4} }}{2}\]

      удовлетворяют условию x≠0.

      Ответить
      • С.А.:
        04.02.2017 в 00:54

        Полагаю, в этом случае следует обязательно добавить, что при а =х решений нет, так так в этом случае -1/х=0, что невозможно, поскольку х не равен 0.

        Ответить
  • Валя:
    23.11.2018 в 12:21

    подскажите пожалуйста как решить это уравнение: (х2-х-2)/(х2-2х-3)

    Ответить
    • admin:
      23.11.2018 в 22:10

      Валя, уравнения нет. Если (х²-х-2)/(х²-2х-3)=0, то числитель должен быть равным нулю, а знаменатель отличен от нуля.
      х²-х-2=0 и х²-2х-3≠0.
      1)х²-2х-3≠0. Решаем квадратное уравнение х²-2х-3=0 и исключаем полученные корни: x≠3, x≠-1.
      2) Решаем квадратное уравнение х²-х-2=0. Его корни x=2, x=-1.
      Второй из корней не удовлетворяет условию x≠-1. Поэтому в ответ записываем только первый корень.
      Ответ: x=2.

      Ответить
  • Валя:
    23.11.2018 в 12:31

    очень трудно дается эта тема

    Ответить
  • Эль Яно:
    14.12.2020 в 22:27

    Доброго времени суток! В третьем решении опечатка, на третьей строчке, при раскрытии всех скобок в числителе последнее -6, вместо +6

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *