Сумма кубов | Алгебра

В алгебре формулы сокращенного умножения — тождества, то есть любая из формул верна как для перехода от правой части к левой, так и от левой к правой.

Мы выяснили, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата разности равно сумме кубов этих выражений. И обратно,

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формула суммы кубов:

${a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})$

С помощью схемы сумму кубов можно представить так:

Например,

$1){4^3} + {z^3} = (4 + z)({4^2} - 4z + {z^2}) =$

$= (4 + z)(16 - 4z + {z^2});$

На практике, чтобы пользоваться формулой суммы кубов, ее надо научиться видеть.

Например, в сумме

$2)1000 + 27{y^3} =$

сначала надо увидеть, что 1000 — это куб 10, а 27y³ — куб (3y):

$= {10^3} + {(3y)^3} =$

и только потом расписать его как сумму кубов:

$= (10 + y)({10^2} - 10y + {y^2}) =$

$= (10 + y)(100 - 10y + {y^2});$

На первом этапе изучения формулы можно использовать схему.

Например,

Таблица кубов от 1 до 10 поможет нам увидеть кубы чисел:

${\begin{array}{*{20}{l}} {{1^3} = 1}\\ {{2^3} = 8}\\ {{3^3} = 27}\\ {{4^3} = 64}\\ {{5^3} = 125}\\ {{6^3} = 216}\\ {{7^3} = 343}\\ {{8^3} = 512}\\ {{9^3} = 729}\\ {{{10}^3} = 1000} \end{array}}$

Свойство степеней поможет определить куб степени:

${{a^n} = {{({a^{\frac{n}{3}}})}^3}}$

Рассмотрим еще примеры разложения по формуле суммы кубов.

$3)8{a^3} + 125{b^3} = {(2a)^3} + {(5b)^3} =$

$= (2a + 5b)({(2a)^2} - 2a \cdot 5b + {(5b)^2}) =$

$= (2a + 5b)(4{a^2} - 10ab + 25{b^2});$

$4){x^{36}} + {y^{15}} = {({x^{12}})^3} + {({y^5})^3} =$

$= ({x^{12}} + {y^5})({({x^{12}})^2} - {x^{12}} \cdot {y^5} + {({y^5})^2}) =$

$= ({x^{12}} + {y^5})({x^{24}} - {x^{12}}{y^5} + {y^{10}});$

$5)0,343{m^3} + 1000000{n^3} =$

Чтобы определить, сколько цифр после запятой нужно записать в десятичной дроби, если известен ее куб, надо количество знаков после запятой в кубе числа разделить на 3:

$= {(0,7m)^3} + {(0,01n)^3} =$