Вычитание алгебраических дробей

Рассмотрим вычитание алгебраических (рациональных) дробей в теории и на практике.

Чтобы вычесть алгебраические дроби, нужно:

1) Найти наименьший общий знаменатель этих дробей.

2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби.

3) Дополнительный множитель умножить на числитель и знаменатель.

4) Выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители вычитают, а знаменатель оставляют тем же).

Примеры вычитания алгебраических дробей.

$1)\frac{{3m + 2n}}{{9{m^2}n}} - \frac{{2n - 5m}}{{6m{n^2}}}$

Наименьший общий знаменатель для чисел равен 18. Из степеней в общий знаменатель включаем каждый множитель, взяв его с наибольшим показателем. Таким образом, наименьший общий знаменатель данных дробей равен 18m²n².

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый.

18m²n²:( 9mn²)=2m, 18m²n²:( 6mn²)=3m.

$\frac{{3m + 2{n^{\backslash 2n}}}}{{9{m^2}n}} - \frac{{2n - 5{m^{\backslash 3m}}}}{{6m{n^2}}} =$

$= \frac{{2n(3m + 2n) - 3m(2n - 5m)}}{{18{m^2}{n^2}}} =$

$= \frac{{6mn + 4{n^2} - 6mn + 15{m^2}}}{{18{m^2}{n^2}}} =$

$= \frac{{4{n^2} + 15{m^2}}}{{18{m^2}{n^2}}};$

$2)\frac{{5{x^2}}}{{5xy - {y^2}}} - \frac{y}{{25x - 5y}} =$

В знаменателях дробей стоят многочлены. Раскладываем их на множители. Для этого выносим за скобки общий множитель: в первом знаменателе — y, во втором — 5:

$= \frac{{5{x^{{2^{\backslash 5}}}}}}{{y(5x - y)}} - \frac{{{y^{\backslash y}}}}{{5(5x - y)}} =$

Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей и равен 5y(5x-y). Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый:

5y(5x-y):(y(5x-y))=5, 5y(5x-y):(5(5x-y))=y,

то есть, дополнительный множитель к первой дроби равен 5, ко второй — y. Затем умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Числитель раскладываем по формуле разности квадратов, после чего сокращаем дробь на (5x-y):

$= \frac{{(5x - y)(5x + y)}}{{5y(5x - y)}} = \frac{{5x + y}}{{5y}};$

$3)\frac{1}{{{x^2} - 4x + 4}} - \frac{1}{{4 - {x^2}}} =$

Многочлены, стоящие в знаменателях, раскладываем на множители по формулам сокращенного умножения. В знаменателе первой дроби — квадрат разности, в знаменателе второй дроби — разность квадратов:

$= \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} - \frac{1}{{(2 - x)(2 + x)}} =$

Выражения (x-2) и (2-x), стоящие в знаменателях, отличаются только знаками. Изменим знаменатель второй дроби.

(2-x)= -(x-2). «Минус» вынесем перед дробью, соответственно, знак изменится на «+»:

$= \frac{{{1^{\backslash (2 + x)}}}}{{{{(x - 2)}^2}}} + \frac{{{1^{\backslash (x - 2)}}}}{{(x - 2)(2 + x)}} =$

Наименьший общий знаменатель состоит из всех входящих в знаменатели множителей, взятых в наибольшей степени. Он равен (x-2)²(2+x). Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и складываем дроби с одинаковыми знаменателями.

$= \frac{{2 + x + 2 - x}}{{{{(x - 2)}^2}(2 + x)}} = \frac{4}{{{{(x - 2)}^2}(2 + x)}};$

$4)\frac{{x + 1}}{{1 + x + {x^2}}} - \frac{{x + 2}}{{1 - {x^3}}} =$

В знаменателе второй дроби — формула разности кубов:

$= \frac{{x + {1^{\backslash (1 - x)}}}}{{1 + x + {x^2}}} - \frac{{x + {2^{\backslash 1}}}}{{(1 - x)(1 + x + {x^2})}} =$

Приводим дроби к общему знаменателю и упрощаем:

$= \frac{{(x + 1)(1 - x) - (x + 2)}}{{(1 - x)(1 + x + {x^2})}} =$

$= \frac{{{1^2} - {x^2} - x - 2}}{{(1 - x)(1 + x + {x^2})}} = \frac{{ - 1 - {x^2} - x}}{{(1 - x)(1 + x + {x^2})}} =$

Выносим из знаменателя «минус» и сокращаем дробь на (1+x+x):

$= - \frac{{1 + {x^2} + x}}{{(1 - x)(1 + x + {x^2})}} = - \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{x - 1}}.$

В алгебре складывать и вычитать дроби с разными знаменателями сложнее, чем их умножать и делить (при умножении и делении дроби не нужно приводить к общему знаменателю).

Умножение и деление алгебраических (рациональных) дробей — следующие темы для изучения.

Добавить комментарий Отменить ответ