Как разложить многочлен на множители

Рассмотрим на конкретных примерах, как разложить многочлен на множители.

Разложение многочленов будем проводить в соответствии с планом.

Разложить многочлены на множители:

    \[1)14c{d^2} + 49{c^2}d;\]

Проверяем, нет ли общего множителя. Общий множитель есть, он равен 7cd. Выносим его за скобки:

    \[14c{d^2} + 49{c^2}d = 7cd(2d + 7c);\]

Выражение в скобках состоит из двух слагаемых. Общего множителя уже нет, формулой суммы кубов выражение не является, значит, разложение завершено.

    \[2)25{x^2} - 30xy + 9{y^2}\]

Проверяем, нет ли общего множителя. Нет. Многочлен состоит из трех слагаемых, поэтому проверяем, нет ли формулы полного квадрата. Два слагаемых являются квадратами выражений: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений:2∙5x∙3y=30xy. Значит, данный многочлен является полным квадратом. Так как удвоенное произведение со знаком «минус», то это — полный квадрат разности:

    \[25{x^2} - 30xy + 9{y^2} = \]

    \[ = {(5x)^2} - 2 \cdot 5x \cdot 3y + {(3y)^2} = {(5x - 3y)^2};\]

    \[3){a^3} - a;\]

Проверяем, нельзя ли вынести общий множитель за скобки. Общий множитель есть, он равен a. Выносим его за скобки:

    \[{a^3} - a = a({a^2} - 1) = \]

В скобках — два слагаемых. Проверяем, нет ли формулы разности квадратов или разности кубов. a² — квадрат a, 1=1². Значит, выражение в скобках можно расписать по формуле разности квадратов:

    \[ = a(a - 1)(a + 1);\]

    \[4)80 + 40a + 5{a^2};\]

Общий множитель есть, он равен 5. Выносим его за скобки:

    \[80 + 40a + 5{a^2} = 5(16 + 8a + {a^2}) = \]

в скобках — три слагаемых. Проверяем, не является ли выражение полным квадратом. Два слагаемых — квадраты: 16=4²  и a² — квадрат a, третье слагаемое равно удвоенному произведению 4 и a: 2∙4∙a=8a. Следовательно, это — полный квадрат. Так как все слагаемые со знаком «+», выражение в скобках является полным квадратом суммы:

    \[ = 5({4^2} + 2 \cdot 4 \cdot a + {a^2}) = 5{(4 + a)^2};\]

    \[5) - 128x - 2{x^4} ; \]

Общий множитель -2x выносим за скобки:

    \[ - 128x - 2{x^4} = - 2x(64 + {x^3}) = \]

В скобках — сумма двух слагаемых. Проверяем, не является ли данное выражение суммой кубов. 64=4³, x³- куб x. Значит, двучлен можно разложить по формуле суммы кубов:

    \[ = - 2x({4^3} + {x^3}) = \]

    \[ = - 2x(4 + x)({4^2} - 4 \cdot x + {x^2}) = \]

    \[ = - 2x(4 + x)(16 - 4x + {x^2});\]

    \[6)4a + 24ab - 8b - 12{a^2} = \]

Общий множитель есть. Но, поскольку многочлен состоит из 4 членов, мы будем сначала группировать слагаемые, а уже потом выносить за скобки общий множитель. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, в второе — с третьим:

    \[ = (4a - 12{a^2}) + (24ab - 8b) = \]

Из первых скобок выносим общий множитель 4a, из вторых — 8b:

    \[ = 4a(1 - 3a) + 8b(3a - 1) = \]

Общего множителя пока нет. Чтобы его получить, из вторых скобок вынесем за скобки «-», при этом каждый знак в скобках изменится на противоположный:

    \[ = 4a(1 - 3a) - 8b(1 - 3a) = \]

Теперь общий множитель (1-3a) вынесем за скобки:

    \[ = (1 - 3a)(4a - 8b) = \]

Во вторых скобках есть общий множитель 4 (этот тот самый множитель, который мы не стали выносить за скобки в начале примера):

    \[ = 4(1 - 3a)(a - 2b);\]

    \[7)16{m^2} - 9{n^2} - 20m + 15n = \]

Поскольку многочлен состоит из четырех слагаемых, выполняем группировку. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:

    \[ = (16{m^2} - 9{n^2}) + ( - 20m + 15n) = \]

В первых скобках общего множителя нет, но есть формула разности квадратов, во вторых скобках общий множитель -5:

    \[ = (4m - 3n)(4m + 3n) - 5(4m - 3n) = \]

Появился общий множитель (4m-3n). Выносим его за скобки:

    \[ = (4m - 3n)((4m + 3n) - 5) = \]

    \[ = (4m - 3n)(4m + 3n - 5);\]

    \[8)9 - 25{x^2} + 30xy - 9{y^2} = \]

Группировка по два слагаемых не дает результа. Группируем второе, третье и четвертое слагаемые:

    \[ = 9 + ( - 25{x^2} + 30xy - 9{y^2}) = \]

В скобках общего множителя нет. Но, если вынести за скобки «минус», в скобках появится формула полного квадрата:

    \[ = 9 - (25{x^2} - 30xy + 9{y^2}) = \]

    \[ = 9 - ({(5x)^2} - 2 \cdot 5x \cdot 3y + {(3y)^2}) = \]

    \[ = 9 - {(5x - 3y)^2} = \]

Общий множитель так и не появился. Однако, если представить 9 как 3², то получим формулу разности квадратов:

    \[ = {3^2} - {(5x - 3y)^2} = \]

    \[ = (3 - (5x - 3y))(3 + (5x - 3y)) = \]

    \[ = (3 - 5x + 3y)(3 + 5x - 3y).\]

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>