Умножение алгебраических дробей

Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:

1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.

При этом многочлены нужно разложить на множители.

2) Если можно, сократить дробь.

Замечание.

При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.

Примеры умножения алгебраических дробей.

$1)\frac{{36{a^2}b}}{{55{c^5}}} \cdot \frac{{22{c^2}}}{{45ab}} =$

При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:

$= \frac{{36{a^2}b \cdot 22{c^2}}}{{55{c^5} \cdot 45ab}} =$

Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:

$= \frac{{\mathop {\overline {36} }\limits^4 \mathop {\overline {{a^2}} }\limits^a \mathop {\overline b }\limits^1 \cdot \mathop {\overline {22} }\limits^2 \mathop {\overline {{c^2}} }\limits^1 }}{{\mathop {\underline {55} }\limits_5 \mathop {\underline {{c^5}} }\limits_{{c^3}} \cdot \mathop {\underline {45} }\limits_5 \mathop {\underline a }\limits_1 \mathop {\underline b }\limits_1 }} = \frac{{8a}}{{25{c^3}}};$

$2)\frac{{3x + 9}}{{4{x^2} - 4x + 1}} \cdot \frac{{4{x^2} - 1}}{{5x + 15}} =$

Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно разложить на множители.

В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:

$= \frac{{3(x + 3) \cdot (2x - 1)(2x + 1)}}{{{{(2x - 1)}^2} \cdot 5(x + 3)}} =$

Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):

$= \frac{{3(2x + 1)}}{{5(2x - 1)}} = \frac{{6x + 3}}{{10x - 5}};$

$3)\frac{{b - a}}{a} \cdot \frac{{7ab}}{{{a^2} - {b^2}}} =$

Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:

$= \frac{{(b - a) \cdot 7ab}}{{a \cdot (a - b)(a + b)}} =$

(a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:

$= - \frac{{(a - b) \cdot 7ab}}{{a \cdot (a - b)(a + b)}} = - \frac{{7b}}{{a + b}};$

$4)\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{{x^3} + 27}} \cdot \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{3x + 9}} =$

При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.

В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — неполный квадрат разности (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:

$= \frac{{{{(x + 3)}^2} \cdot ({x^2} - 3x + 9)}}{{(x + 3)({x^2} - 3x + 9) \cdot 3(x + 3)}} =$

Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):

$= \frac{1}{3}.$

В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.

Добавить комментарий Отменить ответ