Что такое нули функции? Как определить нули функции аналитически и по графику?
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Чтобы найти нули функции, заданной формулой y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.
Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.
Примеры.
1) Найти нули линейной функции y=3x+15.
Решение:
Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.
3x=-15; x= -5.
Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.
Ответ:x= -5.
2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.
Решение:
Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение
x²-7x+12=0.
Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.
Ответ: x=3; x=4.
3)Найти нули функции
![\[g(x) = \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 1}}\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d873104fbc02cd5006e2a8c203526c5b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение:
Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, x²-1≠0,x²≠1,x≠±1. То есть область определения данной функции (ОДЗ)
x ∈ (-∞; -1)U(-1; 1)U(1;∞).
Решаем уравнение
![\[\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 5x + 4\\ {x^2} - 1 \ne 0 \end{array} \right.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-024a42755d8caccc4fe35a8eef148075_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Из корней уравнения x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 в область определения входит только x=-4.
Ответ: x=-4.
Чтобы найти нули функции, заданной графически, надо найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.
Если график не пересекает ось Ox, функция не имеет нулей.
Например,
функция, график которой изображен на рисунке,имеет четыре нуля —
![\[{x_1} = - 2;{x_2} = - 1;{x_3} = 1;{x_4} = 3.\]](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ee814a61201a58d5be3fcdc889812ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
В алгебре задача нахождения нулей функции встречается как в виде самостоятельного задания, так и при решения других задач, например, при исследовании функции, решении неравенств и т.д.