Разность квадратов

Каждая из формул сокращенного умножения является тождеством. Это значит, что ее можно применять в обоих направлениях: и от левой части переходить к правой, и от правой — к левой. Разность квадратов — правая часть формулы произведения суммы и разности двух выражений.

Соответственно, разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности. Формула разности квадратов

${a^2} - {b^2} = (a + b)(a - b)$

Например,

${x^2} - {3^2} = (x + 3)(x - 3)$

На практике, как правило, выражения не представлены в виде квадратов, то есть, прежде чем воспользоваться формулой, их надо преобразовать.

Например,

$25{y^2} - 16{z^{10}}$

Представим каждое выражение в виде квадрата, используя свойства степеней:

$25{y^2} - 16{z^{10}} = {(5y)^2} - {(4{z^5})^2} =$

теперь можем разложить разность квадратов на множители:

$= (5y - 4{z^5})(5y + 4{z^5})$

С помощью схемы разложение разности квадратов на множители можно изобразить так:

Схему можно использовать для наглядности на начальном этапе работы с формулой.

Например, нужно разложить как разность квадратов двучлен 16a²-49b². Представим каждое из выражений в виде квадрата и воспользуемся схемой:

Еще примеры разложения многочлена на множители по формуле разности квадратов:

$0,81{m^2} - 0,0036{n^2} = {(0,9m)^2} - {(0,06n)^2} =$

$= (0,9m - 0,06n)(0,9m + 0,06n);$

$\frac{{25}}{{64}}{x^6} - \frac{4}{9}{y^2} = {(\frac{5}{8}{x^3})^2} - {(\frac{2}{3}y)^2} =$

$= (\frac{5}{8}{x^3} - \frac{2}{3}y)(\frac{5}{8}{x^3} + \frac{2}{3}y);$

$5\frac{4}{9}{t^2} - 1 = \frac{{49}}{9}{t^2} - {1^2} = (\frac{7}{3}t - 1)(\frac{7}{3}t + 1) =$

Чтобы представить в виде квадрата смешанное число, надо перевести его в неправильную дробь. Разложив разность квадратов на множители, неправильную дробь переводим в смешанное число, выделив целую часть

$= (2\frac{1}{3}t - 1)(2\frac{1}{3}t + 1).$

В алгебре разность квадратов — одна из самых востребованных формул сокращенного умножения.

Добавить комментарий Отменить ответ