Произведение суммы и разности

Произведение суммы и разности двух выражений можно найти как произведение многочленов. Для ускорения вычислений удобнее вывести формулу.

Найдем произведение суммы и разности двучленов непосредственным умножением:

$(a - b)(a + b) = {a^2} + ab - ab - {b^2} = {a^2} - {b^2}$

-ab и +ab — противоположные слагаемые, поэтому их сумма равна нулю.

Вывод:

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений.

Формула произведения суммы и разности:

$(a - b)(a + b) = {a^2} - {b^2}$

Произведение суммы и разности двух выражений можно изобразить схематически так:

Рассмотрим на примерах, как находить произведение суммы и разности двух выражений с помощью схемы и с помощью формулы.

1)(3a+5b)(3a-5b)

Если все, что стоит до «+» и до «-«, заключить в квадрат, все, что после этих знаков — в круг, то произведение суммы (3a+5b) и разности (3a-5b) с помощью схемы можно представить так:

Чтобы применить форму произведения суммы разности, найдем a и b. В данном примере a=3a, b=3b:

$(3a + 5b)(3a - 5b) = {(3a)^2} - {(5b)^2} = 9{a^2} - 25{b^2};$

Важно помнить — при возведении в квадрат произведения нескольких множителей, дроби или степени их обязательно следует записывать в скобках!

$2)(2{x^5} + 7y)(2x - 7y) = {(2{x^5})^2} - {(7y)^2} =$

$= 4{x^{10}} - 49{y^2};$

Как найти произведение суммы и разности, если слагаемые в скобках поменять местами?

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Поэтому в разности квадратов на первое месте нужно поставить то выражение, которое стоит на первом месте в разности. Например,

$(b + a)(\underline{\underline a} - b) = {a^2} - {b^2}$