Уравнения равные нулю

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

    \[ax(bx + c)(mx + n) = 0\]

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

    \[ax = 0;bx + c = 0;mx + n = 0\]

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Примеры.

    \[1)7x(2x - 3)(5x + 4) = 0\]

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[7x = 0;2x - 3 = 0;5x + 4 = 0\]

    \[7x = 0;\]

    \[\underline {x = 0} \]

    \[2x - 3 = 0\]

    \[2x = 3\]

    \[\underline {x = 1,5} \]

    \[5x + 4 = 0\]

    \[5x = - 4\]

    \[\underline {x = - 0,8} \]

Ответ: 0; 1,5; -0,8.

    \[2)(12 - 4x)(7x + 2) = 0\]

    \[12 - 4x = 0;7x + 2 = 0\]

    \[12 - 4x = 0\]

    \[ - 4x = - 12\]

    \[\underline {x = 3} \]

    \[7x = - 2\]

    \[\underline {x = - \frac{2}{7}} \]

Ответ: 3; -2/7.

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Например,

    \[3){x^3} - 12 - 3{x^2} + 4x = 0\]

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

    \[({x^3} - 3{x^2}) + (4x - 12) = 0\]

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

    \[{x^2}(x - 3) + 4(x - 3) = 0\]

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

    \[(x - 3)({x^2} + 4) = 0\]

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

    \[x - 3 = 0;{x^2} + 4 = 0\]

Корень первого уравнения —

    \[\underline {x = 0} \]

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

Ответ: 3.

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных  нулю, рассмотрим позже.

       

15 комментариев

  • tboris:
    22.01.2017 в 00:35

    Показательное уравнение:
    3^((x+2)/(3x-4))-2*3^((5x-10)/(3x-4))-7=0
    Корень известен: x=2.
    Подскажите, пожалуйста, как найти решение. Преобразовать в квадратное уравнение что-то не получается.

    Ответить
  • акакий:
    09.04.2017 в 19:51

    2*(-3,783)*(4х-8)=0

    Ответить
  • an:
    13.09.2017 в 13:18

    можете помочь если не трудно, пожалуйста . не могу решить это уравнение 7у²-5у = 0 идей никаких..

    Ответить
    • admin:
      13.09.2017 в 23:58

      Общий множитель выносим за скобки:y(7y-5)=0. Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей: y=0 или 7y-5=0.

      Ответить
  • Наталья:
    01.11.2017 в 15:25

    Помогите решить уравнение, голову сломала
    sinX-cosX=0

    Ответить
    • admin:
      02.11.2017 в 22:09

      Однородное тригонометрическое. Обе части делим на cos x (cos x не равен нулю. Если бы cos x был бы равен нулю, то и sin x должен быть равен нулю. Но синус и косинус одного угла не могут быть равны нулю одновременно). Приходим к уравнению tg x = 1.

      Ответить
  • Мария:
    26.01.2018 в 18:23

    8х^2+6х=0

    Ответить
    • admin:
      27.01.2018 в 15:18

      Это уравнение — неполное квадратное. Общий множитель x выносим за скобки: x(8x+6)=0. Получили уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю Приравниваем к нулю каждый из множителей: x=0 или 8x+6=0; x=-3/4.
      Ответ: 0; -3/4.

      Ответить
  • логика:
    25.09.2018 в 08:36

    не то что нужно но спасибо!

    Ответить
  • lerka:
    14.04.2020 в 16:15

    xy+1=x+y

    Ответить
  • Вова:
    20.10.2022 в 12:30

    8×2+14x+49+7y2+14xy=0
    Найти x и y

    Ответить
    • admin:
      22.10.2022 в 23:55

      8x^2+14x+49+7y^2+14xy=0
      (7x^2+14xy+7x^2)+(x^2+14x+49)=0
      7(x+y)^2+(x+7)^2=0
      x+y=0 и x+7=0
      Отсюда x=-7, y=-x=7.
      Ответ: (-7;7).

      Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *