Выделение квадрата

Выделение квадрата двучлена в алгебре применяют в ходе преобразования многочленов.

Как выделить полный квадрат суммы или разности?

Начнём со случая, когда коэффициент при x² равен 1.

Полный квадрат суммы или разности состоит из трёх слагаемых, два из которых — квадраты:

${a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}$

Если нужны выделить полный квадрат из выражения типа

${x^2} \pm px + q,$

то

$a = x,px = 2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2}$

Отсюда следует, что b=p/2. Третье слагаемое, b², должно равняться (p/2)². Прибавим его и отнимем, чтобы не изменить выражение.

В общем виде выделение квадрата можно записать так:

${x^2} \pm px + q =$

$= {x^2} \pm 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c =$

Первые три слагаемых можно свернуть как полный квадрат суммы (или разности, зависит от знака перед удвоенным произведением):

$= ({x^2} \pm 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2}) - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c =$

$= {(x \pm \frac{p}{2})^2} - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c.$

Примеры выделения полного квадрата.

$1){x^2} - 6x + 23 =$

Здесь a=x, 2ab=6x, следовательно, b=3. Прибавим к x²+2∙x∙3 квадрат тройки и тут же его вычтем, чтобы не данное выражение не изменилось:

$= ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 3 + {3^2}) - {3^2} + 23 =$

В скобках получили полный квадрат разности. Его свернём по формуле. За скобками — -3²+23, упрощаем и получаем:

$= {(x - 3)^2} + 32.$

$2){x^2} + 12x - 5 =$

$= ({x^2} + 2 \cdot x \cdot 6 + {6^2}) - {6^2} - 5 =$

$= {(x + 6)^2} - 41.$

$3){x^2} - 5x + 2 =$

$= ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + 2 =$

$= {(x - 2,5)^2} - 6,25 + 2 = {(x - 2,5)^2} - 4,5.$

Шаг второй.

А как выделить полный квадрат, если перед x² стоит коэффициент, отличный от 1? В этом случае надо вынести этот коэффициент за скобки, а дальше — аналогично.

Примеры.

Проще всего, если каждое из слагаемых делится нацело на коэффициент при x².

$4)3{x^2} - 24x + 9 = 3 \cdot ({x^2} - 8x + 3) =$

$= 3 \cdot (({x^2} - 2 \cdot x \cdot 4 + {4^2}) - {4^2} + 3) =$

$= 3 \cdot ({(x - 4)^2} - 13) =$

$= 3 \cdot {(x - 4)^2} - 3 \cdot 13 = 3 \cdot {(x - 4)^2} - 39.$

Если перед x² стоит 2, 5, 10 или другое число, деление на которое приводит к появлению десятичной дроби, удобнее результат деления записывать именно в виде десятичной дроби.

$5)5{x^2} + 7x - 3 = 5({x^2} + 1,4x - 0,6) =$