Уравнения, приводимые к квадратным

Продолжим на конкретных примерах рассматривать уравнения, приводимые к квадратным.

    \[1){({x^2} - 2x + 2)^2} + 3x \cdot ({x^2} - 2x + 2) = \]

    \[ = 10{x^2}\]

ОДЗ: x∈R.

1-й способ

При x=0

    \[{({0^2} - 2 \cdot 0 + 2)^2} + 3 \cdot 0 \cdot ({0^2} - 2 \cdot 0 + 2) = \]

    \[ = 10 \cdot {0^2}\]

    \[4 \ne 0,\]

то есть нуль не является корнем данного уравнения. Следовательно, деление обеих частей уравнения на x² не приведёт к потере корней.

    \[{({x^2} - 2x + 2)^2} + 3x \cdot ({x^2} - 2x + 2) = \]

    \[ = 10{x^2}\_\_\_\left| {:{x^2}} \right. \ne 0\]

    \[\frac{{{{({x^2} - 2x + 2)}^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{3x \cdot ({x^2} - 2x + 2)}}{{{x^2}}} = \frac{{10{x^2}}}{{{x^2}}}\]

После упрощения получаем уравнение

    \[{(\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{x})^2} + 3 \cdot (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{x}) = 10\]

Обозначим

    \[\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{x} = t,\]

тогда придём к квадратному уравнению относительно переменной t:

    \[{t^2} + 3t - 10 = 0\]

По теореме, обратной теореме Виета

    \[\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = - 3\\ {t_1} \cdot {t_2} = - 10 \end{array} \right. \Rightarrow {t_1} = - 5;{t_2} = 2.\]

Возвращаемся к исходной переменной.

    \[1)\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{x} = - 5\]

Перепишем уравнение в виде

    \[\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{x} = \frac{{ - 5}}{1}\]

и применим основное свойство пропорции:

    \[{x^2} - 2x + 2 = - 5x\]

    \[{x^2} + 3x + 2 = 0\]

Корни этого уравнения —

    \[{x_1} = - 2;{x_2} = - 1.\]

    \[2)\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{x} = 2\]

    \[{x^2} - 2x + 2 = 2x\]

    \[{x^2} - 4x + 2 = 0\]

Так как b= -4 — чётное число, удобно применить формулу дискриминанта, делённого  на 4:

    \[\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 4}}{2})^2} - 1 \cdot 2 = 2\]

    \[{x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{4 \pm \sqrt 2 }}{1} = 4 \pm \sqrt 2 .\]

Ответ:

    \[ - 2; - 1;4 \pm \sqrt 2 .\]

2-й способ

Это уравнение также можно решить введением параметра.

    \[{({x^2} - 2x + 2)^2} + 3x \cdot ({x^2} - 2x + 2) = 10{x^2}\]

Пусть

    \[{x^2} - 2x + 2 = t,\]

тогда

    \[{t^2} + 3x \cdot t - 10{x^2} = 0\]

Это уравнение является квадратным как относительно переменной x, так и относительно переменной t. Рассмотрим его, например, как квадратное относительно переменной t:

    \[a = 1;b = 3x;c = - 10{x^2}\]

    \[D = {b^2} - 4ac = {(3x)^2} - 4 \cdot ( - 10{x^2}) = 49{x^2}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}\]

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - 3x \pm \sqrt {49{x^2}} }}{{2\cdot1}} = \frac{{ - 3x \pm \left| {7x} \right|}}{{2\cdot1}}\]

В данном случае не важно, с каким знаком раскрывается модуль, поскольку в любом случае мы получим одинаковые корни

    \[{t_{1,2}} = \frac{{ - 3x \pm 7x}}{{2 \cdot 1}}\]

    \[{t_1} = \frac{{ - 3x - 7x}}{{2 \cdot 1}} = - 5x;{t_2} = \frac{{ - 3x + 7x}}{{2 \cdot 1}} = 2x\]

Вернувшись к исходной переменной, получаем

    \[{x^2} - 2x + 2 = - 5x;{x^2} - 2x + 2 = 2x.\]

Далее — аналогично.

    \[2){(4x + 1)^2} - (4x + 1)(x - 5) - 30{(x - 5)^2} = \]

    \[ = 0\]

ОДЗ: x∈R.

Это уравнение — однородное, так как все его члены имеют одинаковую суммарную степень (в данном случае — 2). Однородные уравнения решаются почленным делением обеих частей на наибольшую из степеней.

Прежде чем делить на (x-5)², нужно проверить, не являются ли те значения x, при которых это слагаемое обращается в нуль, корнями данного уравнения. Если являются, их добавляют в ответ, если нет — деление на слагаемое не приведёт к потере корней.

(x-5)²=0 при x=5. Проверяем:

    \[{(4\cdot0 + 1)^2} - (4\cdot0 + 1)(0 - 5) - \]

    \[ - 30{(0 - 5)^2} = 0\]

    \[1 + 5 - 750 \ne 0,\]

следовательно, деление на (x-5)² не ведёт к потере корней.

    \[{(4x + 1)^2} - (4x + 1)(x - 5) - 30{(x - 5)^2} = \]

    \[ = 0\_\_\_\left| {:{{(x - 5)}^2}} \right. \ne 0\]

    \[\frac{{{{(4x + 1)}^2}}}{{{{(x - 5)}^2}}} - \frac{{(4x + 1)(x - 5)}}{{{{(x - 5)}^2}}} - \frac{{20{{(x - 5)}^2}}}{{{{(x - 5)}^2}}} = \]

    \[ = 0\]

    \[{(\frac{{4x + 1}}{{x - 5}})^2} - \frac{{4x + 1}}{{x - 5}} - 20 = 0\]

Вводим новую переменную:

    \[\frac{{4x + 1}}{{x - 5}} = t,\]

и приходим к квадратному уравнению относительно t

    \[{t^2} - t - 20 = 0\]

Его корни —

    \[{t_1} = 5,{t_2} = - 4\]

Возвращаемся к исходной переменной

    \[1)\frac{{4x + 1}}{{x - 5}} = 5\]

    \[4x + 1 = 5(x - 5)\]

    \[4x + 1 = 5x - 25\]

    \[x = 26\]

    \[2)\frac{{4x + 1}}{{x - 5}} = - 4\]

    \[4x + 1 = - 4(x - 5)\]

    \[4x + 1 = - 4x + 20\]

    \[8x = 19\]

    \[x = 2,375\]

Ответ: 2,375; 26.

В алгебре многие виды уравнений приводятся к квадратным с помощью замены переменной. Например, с помощью введения параметра могут быть решены некоторые показательные, логарифмические, тригонометрические, иррациональные уравнения.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>