Выделение квадрата

Выделение квадрата двучлена в алгебре применяют в ходе преобразования многочленов.

Как выделить полный квадрат суммы или разности?

Начнём со случая, когда коэффициент при x² равен 1.

Полный квадрат суммы или разности состоит из трёх слагаемых, два из которых — квадраты:

    \[{a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}\]

Если нужны выделить полный квадрат из выражения типа

    \[{x^2} \pm px + q,\]

то

    \[a = x,px = 2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2}\]

Отсюда следует, что b=p/2. Третье слагаемое,  b²,  должно равняться (p/2)². Прибавим его и отнимем, чтобы не изменить выражение.

В общем виде выделение квадрата можно записать так:

    \[{x^2} \pm px + q = \]

    \[ = {x^2} \pm 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c = \]

Первые три слагаемых можно свернуть как полный квадрат суммы (или разности, зависит от знака перед удвоенным произведением):

    \[ = ({x^2} \pm 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2}) - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c = \]

    \[ = {(x \pm \frac{p}{2})^2} - {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2} + c.\]

Примеры выделения полного квадрата.

    \[1){x^2} - 6x + 23 = \]

Здесь a=x, 2ab=6x, следовательно, b=3. Прибавим к x²+2∙x∙3 квадрат тройки и тут же его вычтем, чтобы не данное выражение не изменилось:

    \[ = ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 3 + {3^2}) - {3^2} + 23 = \]

В скобках получили полный квадрат разности. Его свернём по формуле. За скобками — -3²+23, упрощаем и получаем:

    \[ = {(x - 3)^2} + 32.\]

    \[2){x^2} + 12x - 5 = \]

    \[ = ({x^2} + 2 \cdot x \cdot 6 + {6^2}) - {6^2} - 5 = \]

    \[ = {(x + 6)^2} - 41.\]

    \[3){x^2} - 5x + 2 = \]

    \[ = ({x^2} - 2 \cdot x \cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + 2 = \]

    \[ = {(x - 2,5)^2} - 6,25 + 2 = {(x - 2,5)^2} - 4,5.\]

Шаг второй.

А как выделить полный квадрат, если перед x² стоит коэффициент, отличный от 1? В этом случае  надо вынести этот коэффициент за скобки, а дальше — аналогично.

Примеры.

Проще всего, если каждое из слагаемых делится нацело на коэффициент при  x².

    \[4)3{x^2} - 24x + 9 = 3 \cdot ({x^2} - 8x + 3) = \]

    \[ = 3 \cdot (({x^2} - 2 \cdot x \cdot 4 + {4^2}) - {4^2} + 3) = \]

    \[ = 3 \cdot ({(x - 4)^2} - 13) = \]

    \[ = 3 \cdot {(x - 4)^2} - 3 \cdot 13 = 3 \cdot {(x - 4)^2} - 39.\]

Если перед x² стоит 2, 5, 10 или другое число, деление на которое приводит к появлению десятичной дроби, удобнее результат деления записывать именно в виде десятичной дроби.

    \[5)5{x^2} + 7x - 3 = 5({x^2} + 1,4x - 0,6) = \]

    \[ = 5(({x^2} + 2 \cdot x \cdot 0,7 + {0,7^2}) - \]

    \[ - {0,7^2} - 0,6) = 5({(x + 0,7)^2} - 1,09) = \]

    \[ = 5{(x + 0,7)^2} - 5,45.\]

Сложнее всего вычисления в случаях обыкновенных дробей.

    \[6)7{x^2} - 3x + 4 = 7({x^2} - \frac{3}{7}x + \frac{4}{7}) = \]

    \[ = 7(({x^2} - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{{14}} + {(\frac{3}{{14}})^2}) - \]

    \[ - {(\frac{3}{{14}})^2} + \frac{4}{7}) = \]

    \[ = 7({(x - \frac{3}{{14}})^2} - \frac{{{9^{\backslash 1}}}}{{196}} + \frac{{{4^{\backslash 28}}}}{7}) = \]

    \[ = 7({(x - \frac{3}{{14}})^2} + \frac{{103}}{{196}}) = \]

    \[ = 7{(x - \frac{3}{{14}})^2} + 7 \cdot \frac{{103}}{{196}} = \]

    \[ = 7{(x - \frac{3}{{14}})^2} + \frac{{103}}{{28}}.\]

В следующий раз рассмотрим, как с помощью выделения квадрата двучлена можно решить квадратное уравнение.

       

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>